数学II / 複素数と方程式

1の3乗根 ω の計算

★★ 標準1の3乗根

問題

$ω$ を方程式 $x^{2} + x + 1 = 0$ の1つの解とする。次の値を求めよ。

(1) $ω^{10} + ω^{5}$

(2) $(1 + ω) (1 + ω^{2})$

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$ω$ について使える事実は $2$ つ — もとの方程式そのもの(次数下げに使える)と、 $x^{3} - 1$ の因数分解から見える累乗の周期性。大きな指数はまず周期で減らそう。

解答・解説

$ω$ は2つの性質 $ω^{3} = 1$ と $ω^{2} + ω + 1 = 0$ を持つ。大きな累乗は $ω^{3} = 1$ で小さくし、 $ω^{2} + ω + 1 = 0$ で最後に整理する。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $ω$ の問題の武器は2つだけだ。 $ω^{2} + ω + 1 = 0$ (定義の式)と、そこから出る $ω^{3} = 1$ 。

$ω^{3} = 1$ の導き方も一言で言える。 $x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ で、 $ω$ は第2因数の根だから第1式全体も $0$ 、つまり $ω^{3} = 1$ 。

大きな累乗は $ω^{3} = 1$ で小さくし、残った低次の式は $ω^{2} + ω + 1 = 0$ で整理する。この2段構えがすべてである。

重要

ω

は

x^{2} + x + 1 = 0

の解:

ω^{2} + ω + 1 = 0

かつ

ω^{3} = 1

$ω^{3} = 1$ は、 $x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ で $ω$ が右の因数を $0$ にすることからわかる。

(1) 指数を $ω^{3} = 1$ で減らす。 $10 = 3 \times 3 + 1$ 、 $5 = 3 + 2$ なので

$ω^{10} = (ω^{3})^{3} \cdot ω = ω, ω^{5} = ω^{3} \cdot ω^{2} = ω^{2}$

よって

$ω^{10} + ω^{5} = ω + ω^{2}$

$ω^{2} + ω + 1 = 0$ より $ω + ω^{2} = - 1$ 。

$= - 1$

(2) 展開する。

$(1 + ω) (1 + ω^{2}) = 1 + ω^{2} + ω + ω^{3}$

$ω^{3} = 1$ 、 $ω^{2} + ω = - 1$ を使うと

$= 1 + (- 1) + 1 = 1$

発展 — 一歩先へ。 $ω$ の正体は「1の3乗根のうち $1$ でないもの」で、複素数平面では単位円を3等分する点だ。周期3の時計という今日の読み方は、その図形的事実の代数版である。

$x^{100}$ を $x^{2} + x + 1$ で割った余り、 $(1 + ω)^{2024}$ の値など、 $ω$ は「巨大な指数を周期で折りたたむ」問題の主役として応用問題に何度も現れる。武器は今日の2つの式で常に足りる。

答

(1) $- 1$ (2) $1$

$ω^{3} = 1$ を「周期3の時計」と読むと、累乗の計算が割り算1回になる。

$ω, ω^{2}, ω^{3} = 1, ω^{4} = ω, \dots$ と、累乗は3歩ごとに元に戻る。だから $ω^{n}$ は、指数 $n$ を $3$ で割った余りだけで決まる。

(1)は $ω + ω^{2}$ 。定義の式から $ω^{2} + ω = - 1$ 。

(2)は先に展開してしまう手が軽い。

$(1 + ω) (1 + ω^{2}) = 1 + ω + ω^{2} + ω^{3} = 0 + 1 = 1$

$1 + ω + ω^{2} = 0$ のかたまりが浮かび上がって消える。時計で指数を潰し、定義の式でかたまりを消す。 $ω^{100}$ でも $ω^{2024}$ でも、同じ2手で終わる。