数学II / 複素数と方程式

剰余の定理(2条件)

★★ 標準剰余の定理

問題

整式 $P (x)$ を $x - 1$ で割ると余りは $3$ 、 $x - 2$ で割ると余りは $5$ である。 $P (x)$ を $(x - 1) (x - 2)$ で割ったときの余りを求めよ。

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余りを $1$ 次式でおいて、割り算の関係式を書く。商が消える $x$ の値を代入すると、与えられた $2$ つの余りの条件とつながって連立になる。

解答・解説

2次式 $(x - 1) (x - 2)$ で割った余りは1次式 $a x + b$ とおける。 $x = 1$ 、 $x = 2$ を代入すると、剰余の定理から $a$ 、 $b$ が決まる。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $P (x)$ の正体は不明のまま進める。2次式で割った余りは1次以下だから、 $a x + b$ とおく。

条件を値の言葉に翻訳するのが剰余の定理だ。「 $x - 1$ で割ると余り $3$ 」は $P (1) = 3$ のこと。

割り算の等式 $P (x) = (x - 1) (x - 2) Q (x) + a x + b$ に $x = 1, 2$ を入れれば、 $Q (x)$ が消えて $a, b$ の連立になる。

定理剰余の定理:

P (x)

を

x - k

で割った余りは

P (k)

2次式で割った余りは1次式だから、余りを $a x + b$ とおく。

$P (x) = (x - 1) (x - 2) Q (x) + a x + b$

$x = 1$ を代入すると、 $(x - 1)$ の部分が $0$ になり

$P (1) = a + b$

剰余の定理より $P (1) = 3$ なので $a + b = 3$ 。同じく $x = 2$ を代入すると

$P (2) = 2 a + b = 5$

2式を引き算して $a = 2$ 、これを $a + b = 3$ に戻して $b = 1$ 。

よって余りは $2 x + 1$ 。

発展 — 一歩先へ。 条件が「 $x^{2} + 1$ で割ると余り $x + 1$ 」のような2次の割る式になると、値の代入先が虚数( $x = i$ )になる。それでも $P (i) = i + 1$ として同じ手順が回るのが、複素数を学んだ利益だ。

「差をとると割り切れる」という別解の見方は、この虚数代入の場面でも、数学Bの数列(合同式)でも、骨格として生き続ける。

答

$2 x + 1$

答えを見つけたあとに「なぜこれで確定なのか」を固める、因数定理の目も持っておきたい。

余りの候補 $2 x + 1$ を思いついたとする( $x = 1$ で $3$ 、 $x = 2$ で $5$ になる1次式)。このとき差

$Q (x) = P (x) - (2 x + 1)$

を考えると、 $Q (1) = 3 - 3 = 0$ 、 $Q (2) = 5 - 5 = 0$ 。

因数定理から $Q (x)$ は $(x - 1)$ でも $(x - 2)$ でも割り切れる。2つは互いに素な因数だから、 $Q (x)$ は $(x - 1) (x - 2)$ で割り切れる。

つまり $P (x) = (x - 1) (x - 2) \times (商) + (2 x + 1)$ の形になっていて、余りは確かに $2 x + 1$ だ。

「余りを引いた差が、割る式で割り切れる」という見方は、余り問題の構造そのものである。整数の合同式( $15 - 1$ は $7$ で割り切れるから $15 \equiv 1$ )と同じ文法だ。