複素数と方程式の解説

複素数と方程式は、$i^2=-1$ となる数 $i$ を導入して、2次方程式がつねに解をもつようにし、その先で3次以上の方程式(高次方程式)を解く単元です。「複素数の計算」「解と係数の関係」「剰余の定理と因数定理」「高次方程式」の4つが柱で、順に積み上がります。この記事では、それぞれの要点と、計算でつまずく場所を説明します。

複素数の計算は「$i^2=-1$ と共役」だけ

複素数 $a+bi$ の足し算・引き算・掛け算は、$i$ を文字とみて展開し、$i^2$ を $-1$ に直すだけです。割り算は、分母の共役複素数 $a-bi$ を分子分母にかけて、分母を実数 $a^2+b^2$ にします。複素数の四則と除法で手順を確認してください。

2つの複素数が等しいとは、実部どうし・虚部どうしが等しいことです。「$a+bi=0$ ならば $a=b=0$」という性質から、複素数の等式1本が実数の等式2本になり、未知数を決められます。複素数の相等と標準の相等(2乗)は、この「1本を2本に分ける」練習です。応用の複素数の平方根は、$(x+yi{)}^2=$ 与えられた複素数、とおいて連立する問題です。

負の数の平方根では、$\sqrt{-3}=\sqrt{3}i$ と先に $i$ を外に出してから計算します。$\sqrt{-2}\times \sqrt{-3}$ を $\sqrt{6}$ とするのは誤りで、正しくは $-\sqrt{6}$ です。標準の負の数の平方根で確認してください。

解と係数の関係は「対称式の道具」

2次方程式 $a{x}^2+bx+c=0$ の2解 $\alpha$、$\beta$ について、$\alpha +\beta =-\frac{b}{a}$、$\alpha \beta =\frac{c}{a}$ が解と係数の関係です。解を実際に求めなくても、解の対称式(${\alpha }^2+{\beta }^2$、${\alpha }^3+{\beta }^3$、$\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }$ など)の値が求まります。解と係数の関係と対称式で、数学Iの対称式の変形をそのまま使うことを確認してください。

逆に、「${\alpha }^2$ と ${\beta }^2$ を解にもつ2次方程式を作れ」という問題は、和と積を求めて $x^2-(\text{和})x+(\text{積})=0$ とします(標準の2数を解とする2次方程式、応用の2解の2乗を解とする方程式)。

3次方程式にも解と係数の関係があり、3つの解の和・2つずつの積の和・3つの積が、係数で表せます。応用の3次方程式の解と係数で確認してください。

剰余の定理と因数定理

「整式 $P(x)$ を $x-a$ で割った余りは $P(a)$」が剰余の定理、「$P(a)=0$ ならば $P(x)$ は $x-a$ で割り切れる」が因数定理です。高次方程式を解くときは、因数定理で1つの解 $a$ を見つけ、$x-a$ で割って次数を下げます。

解の候補は「定数項の約数 ÷ 最高次の係数の約数」に限られるので、そこから順に代入して $P(a)=0$ になるものを探します。剰余の定理、因数定理による因数分解、3次方程式を解くの3問で、この流れを確認してください。

「2つの条件から余りを求める」型(標準の剰余の定理(2条件)、応用の高次式を2次式で割った余り)は、式と証明の単元で学んだ「余りを $ax+b$ とおく」手順です。

高次方程式で使う3つの技術

因数定理のほかに、高次方程式では次の技術を使います。複2次式は $x^2=t$ と置き換えるか、平方の差に整えて因数分解します(標準の複2次式の因数分解)。相反方程式(係数が前後対称)は、$x^2$ で割って $x+\frac{1}{x}=t$ とおき、次数を半分にします(応用の相反方程式)。実数係数の方程式が虚数解 $p+qi$ をもつなら、共役の $p-qi$ も解なので、この2つの解をもつ2次式で割れます(応用の実数係数と共役解と虚数解をもつ3次方程式)。

1の3乗根 ω

$x^3=1$ の虚数解の1つを $\omega$ とおくと、${\omega }^3=1$、${\omega }^2+\omega +1=0$ が成り立ちます。この2つの関係で、$\omega$ の高次の式は必ず簡単になります。${\omega }^{100}$ なら、$100=3\cdot 33+1$ から $\omega$ です。1の3乗根 ω、標準のω の計算、応用のω を使った式の値で、この「次数を落とす」計算に慣れてください。$\omega$ は、数学Cの複素数平面で「1の $n$ 乗根」として一般化されます。

学習の順序と入試での出方

基礎12問は、四則・除法・$i$ の累乗・相等・共役・2次方程式の複素数解・解と係数・対称式・剰余の定理・因数定理・3次方程式・ω の順です。標準12問と応用8問で、複素数の平方根、相反方程式、共役解、余りの条件、3次方程式の解と係数へ進みます。

入試では、解と係数の関係と、共役解の性質を使った係数決定が定番です。難関(★★★★)以上には、$x^4+4=0$、3解の3乗の和、周期性を使ったべきの計算、共通解の問題など、複素数の計算と方程式論をつなぐ問題を集めました。この単元の $\omega$ と共役の性質は、数学Cの複素数平面(極形式・ド・モアブルの定理)に直結します。