数学II / 複素数と方程式

2解の2乗を解とする方程式

★★★ 応用解と係数の関係方程式の作成

問題

2次方程式 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ の2つの解を $α$ 、 $β$ とする。 $α^{2}$ 、 $β^{2}$ を2つの解とする2次方程式を1つ作れ。

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新しい方程式に必要なのは $α^{2} + β^{2}$ と $α^{2} β^{2}$ の $2$ つだけ。どちらも、もとの方程式の和・積から作れる対称式だ。

解答・解説

新しい2解 $α^{2}$ 、 $β^{2}$ の「和」と「積」を、もとの $α + β$ 、 $α β$ で表す。和と積がわかれば方程式が作れる。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 新しい $2$ 解 $α^{2}$ 、 $β^{2}$ を解とする方程式に要るのは、和と積の $2$ つだけだ。

その和と積を、もとの $α + β$ 、 $α β$ で表す。和は $(α + β)^{2} - 2 α β$ 、積は $(α β)^{2}$ になる。

変換後の基本対称式を、もとの基本対称式で書き直す。これが方程式を作り替える発想だ。

公式2数

s

、

t

を解とする2次方程式は

x^{2} - (s + t) x + s t = 0

もとの方程式 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ から

$α + β = 3, α β = 1$

新しい解の和 $α^{2} + β^{2}$ :

$α^{2} + β^{2} = (α + β)^{2} - 2 α β = 9 - 2 = 7$

新しい解の積 $α^{2} β^{2}$ :

$α^{2} β^{2} = (α β)^{2} = 1^{2} = 1$

和 $7$ 、積 $1$ なので、求める方程式は

$x^{2} - 7 x + 1 = 0$

発展 — 一歩先へ。 「解を $2$ 乗した方程式」を作る操作は、公式化できる。もとの多項式を $p (x)$ とすると、解を $2$ 乗した方程式は $p (x) p (- x) = 0$ で得られる。 $x$ の奇数乗が打ち消し合い、 $x$ の多項式だけが残る仕掛けだ。

本問なら $p (x) = x^{2} - 3 x + 1$ で、 $p (x) p (- x) = (x + 1)^{2} - 9 x = x^{2} - 7 x + 1$ となり、答えと一致する。

これは終結式(resultant)による変数消去の一例だ。解を $α + 1$ や $\frac{1}{α}$ に変換した方程式も、同じ発想で機械的に作れる。

答

$x^{2} - 7 x + 1 = 0$

別解 — 実際に解を求めて $2$ 乗する(苦手な人向けの具体ルート)。 対称式の変形が不安なら、 $α$ 、 $β$ をそのまま求めてしまえばよい。

$x^{2} - 3 x + 1 = 0$ を解の公式で解くと $x = \frac{3 \pm 5}{2}$ 。だから $α = \frac{3 + 5}{2}$ 、 $β = \frac{3 - 5}{2}$ 。

これらを $2$ 乗する。

$α^{2} = \frac{( 3 + 5 ) ^{2}}{4} = \frac{14 + 6 5}{4} = \frac{7 + 3 5}{2}, β^{2} = \frac{7 - 3 5}{2}$

新しい解の和と積を出す。

$α^{2} + β^{2} = \frac{7 + 3 5}{2} + \frac{7 - 3 5}{2} = 7, α^{2} β^{2} = \frac{7 ^{2} - ( 3 5 ) ^{2}}{4} = \frac{49 - 45}{4} = 1$

和 $7$ 、積 $1$ だから、求める方程式は $x^{2} - 7 x + 1 = 0$ 。

対称式で一気に出す本解と同じ答え。具体的に解いて $2$ 乗すると、何が起きているかが目で見えるのが利点だ。

$α^{2} + β^{2} = (α + β)^{2} - 2 α β$ の $- 2 α β$ を忘れ、 $α^{2} + β^{2} = 9$ としてしまう。
新しい方程式の $1$ 次の係数の符号を取り違え、 $x^{2} + 7 x + 1 = 0$ と書いてしまう。
積 $α^{2} β^{2}$ を和と混同し、 $(α β)^{2}$ を使わずに遠回りして詰まる。