1の5乗根で三角比の値を求める

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\cos 72^{\circ }$ のような値は、単独でにらんでも出ない。5等分の角は「1の5乗根」の世界に持ち込むのが正道だ。

与えられた武器は $1+\zeta +{\zeta }^2+{\zeta }^3+{\zeta }^4=0$。この式の実部をとると、$\cos$ たちの関係式になる。

ここで ${\zeta }^4$ は $\zeta$ の共役、${\zeta }^3$ は ${\zeta }^2$ の共役。共役の対は実部が等しいから、和は $1+2\cos 72^{\circ }+2\cos 144^{\circ }=0$ とまとまる。あとは2倍角で $\cos 144^{\circ }$ を $\cos 72^{\circ }$ に翻訳すれば、2次方程式に落ちる。

① 和の実部。 $1+\zeta +{\zeta }^2+{\zeta }^3+{\zeta }^4=0$。${\zeta }^k=\cos (72k{)}^{\circ }+i\sin (72k{)}^{\circ }$ で、${\zeta }^4$ は $\zeta$ の、${\zeta }^3$ は ${\zeta }^2$ の共役だから、実部をとると $$1+2\cos 72^{\circ }+2\cos 144^{\circ }=0⟹\cos 72^{\circ }+\cos 144^{\circ }=-\frac{1}{2}.$$ ② $2$ 倍角で $1$ 文字に。 $c=\cos 72^{\circ }$ とおく。$\cos 144^{\circ }=\cos (2\cdot 72^{\circ })=2c^2-1$。代入して $$c+(2c^2-1)=-\frac{1}{2}⟹2c^2+c-\frac{1}{2}=0⟹4c^2+2c-1=0.$$ ③ $2$ 次方程式を解く。 $$c=\frac{-2\pm \sqrt{4+16}}{8}=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{4}.$$ $\cos 72^{\circ }>0$ なので $c=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$。

まとめ $1$ の $5$ 乗根の和 $=0$ の実部から $\cos 72^{\circ }+\cos 144^{\circ }=-\frac{1}{2}$、$2$ 倍角で $4c^2+2c-1=0$ を解いて $\cos 72^{\circ }=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$。$1$ の $5$ 乗根と三角の融合。複素数の和 $=0$ が実数の関係を生むのが核心。

発展 — 一歩先へ。 $s_1,s_2$ のような根の部分和(ガウス周期)を入れ子に組むと、$\cos \frac{2\pi }{17}$ も平方根の入れ子だけで書ける — 正17角形が作図できるというガウスの発見である。本問の $u^2+u-1=0$ は、その階段の最初の一段だ。

別解

別解 — 「共役ペアの和」2つの和と積を出す(得意な人向けの高い視点)。 $s_1=\zeta +{\zeta }^4=2\cos 72^{\circ }$、$s_2={\zeta }^2+{\zeta }^3=2\cos 144^{\circ }$ とおく。

和は5乗根の和の式から $s_1+s_2=-1$。積は展開して

$$s_1{s}_2={\zeta }^3+{\zeta }^4+{\zeta }^6+{\zeta }^7={\zeta }^3+{\zeta }^4+\zeta +{\zeta }^2=-1$$

(${\zeta }^5=1$ で指数を戻した)。和 $-1$・積 $-1$ だから、$s_1,s_2$ は

$$u^2+u-1=0$$

の2解である。$s_1=2\cos 72^{\circ }>0$ より $s_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$、すなわち $\cos 72^{\circ }=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$。

2倍角(本解)の代わりに「解と係数の逆使い」で2次方程式を作った。この $s_1,s_2$ のような根の部分和はガウス周期とよばれ、正五角形が定規とコンパスで作図できる理由の核心でもある。