3次方程式の解と係数

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 (1)から(3)は、$3$ 次の解と係数の関係を係数から直読みするだけだ。

(4)の ${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2$ は少し工夫が要る。$(\alpha +\beta +\gamma {)}^2-2(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )$ と、基本対称式で書ける。

$3$ 変数の対称式も、基本対称式に還元する。$2$ 次からのこの一般化が主題だ。

この方程式は $x^3-2x^2+3x-4=0$、つまり $p=-2$、$q=3$、$r=-4$。

(1) 3解の和。

$$\alpha +\beta +\gamma =-p=2$$

(2) 2つずつの積の和。

$$\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =q=3$$

(3) 3つの積。

$$\alpha \beta \gamma =-r=4$$

(4)

$${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2=2^2-2\times 3=4-6=-2$$

発展 — 一歩先へ。 根の対称式(どの解を入れ替えても値が変わらない式)は、必ず基本対称式だけで書ける。これを対称式の基本定理という。だから ${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2$ に限らず、$3$ 乗和や $4$ 乗和も、解を求めずに係数だけから計算できる。

その代表例が判別式 $(\alpha -\beta {)}^2(\beta -\gamma {)}^2(\gamma -\alpha {)}^2$ だ。これも対称式なので、係数だけから求まる。本問の $x^3-2x^2+3x-4=0$ では、この判別式が $-200$ になる。

判別式が負なら、解は実数 $1$ つと共役な虚数 $2$ つ。だから(4)の ${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2$ が $-2$ と負になったのも、解に虚数が混じっているからだと納得できる。

別解

別解 — 因数分解の形を展開して関係式を導く(苦手な人向けの土台ルート)。 符号つきの公式を覚えていなくても、$x^3-2x^2+3x-4$ が $(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )$ に等しいことから全部出せる。

右辺を展開する。

$$(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )=x^3-(\alpha +\beta +\gamma )x^2+(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )x-\alpha \beta \gamma$$

もとの式 $x^3-2x^2+3x-4$ と係数を見比べる。

$$\alpha +\beta +\gamma =2,\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =3,\alpha \beta \gamma =4$$

これで(1)(2)(3)が確定する。符号は展開が教えてくれるので、覚え違いが起きない。

(4)は $2$ 乗の和なので、和と積の組み合わせに直す。

$${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2=(\alpha +\beta +\gamma {)}^2-2(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )=2^2-2\cdot 3=-2$$

公式を直読みする本解と同じ答え。展開から導くと、覚え違いしやすい符号が自然に出てくるのが利点だ。