虚数解をもつ3次方程式

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 実数係数だから、$1+i$ の共役 $1-i$ も解になる。$3$ 次なので、残る $1$ 解は実数だ。

まず「共役ペア $2$ つと実数 $1$ つ」と、解の顔ぶれを確定させる。

あとは解と係数の関係を使う。$a,b$ と残りの解を、芋づる式に決めていく。

よって $1+i$、$1-i$ が解。3次なので、残りの実数解を $r$ とおく。

この方程式は $x^2$ の項がない($p=0$)ので、3解の和は $0$。

$$(1+i)+(1-i)+r=0\Rightarrow 2+r=0\Rightarrow r=-2$$

残りの解は $1-i$ と $-2$。

次に $a$、$b$。3解の積は $-b$ にあたる。

$$(1+i)(1-i)(-2)=2\times (-2)=-4=-b\Rightarrow b=4$$

2つずつの積の和が $a$ にあたる。

$$(1+i)(1-i)+(1+i)(-2)+(1-i)(-2)=2+(-2-2i)+(-2+2i)=-2$$

まとめ:よって $a=-2$。まとめると $a=-2$、$b=4$、残りの解は $1-i$ と $-2$。

発展 — 一歩先へ。 $x^3+ax+b$ のように $2$ 次の項がない $3$ 次式を「減次形」という。どんな $3$ 次方程式も、$x$ を定数だけ平行移動すればこの形になる。カルダノの公式は、まさにこの減次形を解くための公式だ。

減次形 $x^3+ax+b=0$ の解の様子は、判別式 $-4a^3-27b^2$ の符号で決まる。これが負なら実数解 $1$ つと共役な虚数解 $2$ つ、正なら相異なる実数解 $3$ つになる。

本問は $a=-2$、$b=4$ で、判別式は $-4(-2{)}^3-27\cdot 4^2=32-432=-400<0$。だから実数解 $1$ つ($-2$)と共役ペア $1\pm i$、という顔ぶれが判別式からも読み取れる。

別解

別解 — 解を代入して実部・虚部を $0$ にする(計算で押し切るルート)。 共役解や解と係数の関係を持ち出さず、$x=1+i$ を方程式にそのまま代入する。

まず $(1+i{)}^2=2i$、$(1+i{)}^3=(1+i)\cdot 2i=2i+2i^2=-2+2i$。代入すると

$$(1+i{)}^3+a(1+i)+b=(-2+2i)+a(1+i)+b=(-2+a+b)+(2+a)i$$

$a,b$ は実数なので、実部と虚部がそれぞれ $0$ になる。

$$-2+a+b=0,2+a=0$$

$2$ 本目から $a=-2$、$1$ 本目に入れて $b=4$。方程式は $x^3-2x+4=0$。

残りの解は、因数分解 $x^3-2x+4=(x+2)(x^2-2x+2)$ から $x=-2$ と $x=1\pm i$。

解と係数の関係で攻める本解と同じ $a=-2$、$b=4$ に、代入 $1$ 回と実虚の分離だけで着く。共役解を明示的に使わなくても、実部・虚部を $0$ にする条件が同じ仕事をしてくれる。