数学II / 複素数と方程式

解の逆数を解とする2次方程式

★★★★ 難関解と係数の関係

問題

$2$ 次方程式 $x^{2} - 2 x + 5 = 0$ の $2$ つの解を $α, β$ とする。 $\frac{1}{α}$ と $\frac{1}{β}$ を $2$ つの解とする $2$ 次方程式を $1$ つ求めよ(係数は整数とする)。

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$\frac{1}{α} + \frac{1}{β}$ と $\frac{1}{α} \cdot \frac{1}{β}$ を、 $α + β$ と $α β$ で表す。それを「解の和・積」として $x^{2} - (和) x + (積) = 0$ に当てはめ、分母を払う。

解答・解説

方針

解と係数の関係で $α + β = 2$ 、 $α β = 5$ 。求める方程式の解の和 $\frac{1}{α} + \frac{1}{β} = \frac{α + β}{α β}$ 、積 $\frac{1}{α β}$ を計算し、 $x^{2} - (和) x + (積) = 0$ に入れて整数化。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\frac{1}{α}, \frac{1}{β}$ を解とする方程式は、新しい解の「和」と「積」を出して組み立てる。

解と係数の関係で $α + β = 2$ 、 $α β = 5$ 。新しい解の和 $\frac{1}{α} + \frac{1}{β} = \frac{α + β}{α β} = \frac{2}{5}$ 、積 $\frac{1}{α β} = \frac{1}{5}$ 。

$x^{2} - (和) x + (積) = 0$ に入れて $x^{2} - \frac{2}{5} x + \frac{1}{5} = 0$ 。整数係数にするため $5$ 倍して $5 x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 。

定理

2

数

p, q

を解とする

2

次方程式は

x^{2} - (p + q) x + pq = 0

① もとの解と係数。 $x^{2} - 2 x + 5 = 0$ より $α + β = 2$ 、 $α β = 5$ 。

② 新しい解の和と積。

$\frac{1}{α} + \frac{1}{β} = \frac{α + β}{α β} = \frac{2}{5}, \frac{1}{α} \cdot \frac{1}{β} = \frac{1}{α β} = \frac{1}{5}$

③ 方程式を作る。 $x^{2} - (和) x + (積) = 0$ より

$x^{2} - \frac{2}{5} x + \frac{1}{5} = 0$

両辺を $5$ 倍して整数係数にすると

$5 x^{2} - 2 x + 1 = 0$

まとめ:「解を変換した方程式」は、新しい解の和と積を、もとの $α + β, α β$ で表して組み立てる。逆数なら和 $\frac{α + β}{α β}$ 、積 $\frac{1}{α β}$ 。分母を払って整数係数にするのを忘れない。

発展 — 一歩先へ。 $x \to \frac{1}{x}$ で係数が逆順になる。係数が左右対称な相反方程式( $x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + a x + 1 = 0$ など)は $x \to \frac{1}{x}$ で不変で、解が逆数ペア $α, \frac{1}{α}$ になる。 $t = x + \frac{1}{x}$ の置換で次数が半分に落ちる、有名な解法につながる。

答

$5 x^{2} - 2 x + 1 = 0$

別解

別解 — $x \to \frac{1}{x}$ の置き換えで係数を逆順にする(得意な人向けの視点)。 「解が逆数」ということは、元の方程式で $x$ を $\frac{1}{x}$ に置き換えればよい。

$\frac{1}{x}$ が新しい方程式の解 $⟺$ $x$ が元の方程式 $x^{2} - 2 x + 5 = 0$ の解。だから元の式で $x \to \frac{1}{x}$ とすると

$(\frac{1}{x})^{2} - 2 \cdot \frac{1}{x} + 5 = 0.$

両辺に $x^{2}$ を掛けて $1 - 2 x + 5 x^{2} = 0$ 、すなわち $5 x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 。

和と積を計算する本解と同じ $5 x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 。 $x \to \frac{1}{x}$ の置き換えは「係数を逆順に並べる」操作に等しい( $[1, - 2, 5] \to [5, - 2, 1]$ )。相反方程式(係数が左右対称)が逆数解をもつのも、この置き換えで式が変わらないからだ。

ポイント

$\frac{1}{α} + \frac{1}{β} = \frac{α + β}{α β} = \frac{2}{5}$ 、 $\frac{1}{α β} = \frac{1}{5}$ 。
$x^{2} - \frac{2}{5} x + \frac{1}{5} = 0$ を $5$ 倍 → $5 x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 。

よくある間違い

新しい解の和 $\frac{1}{α} + \frac{1}{β} = \frac{α + β}{α β}$ の計算( $\frac{2}{5}$ )を誤る。
$x^{2} - (和) x + (積) = 0$ の和の符号( $-$ )を落とす。
整数係数にするため $5$ 倍する際、全項に掛けない( $5 x^{2} - 2 x + 1$ )。