虚数解の絶対値の評価

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 3次方程式は(公式はあるが)実用的には解けない。それでも $|\beta |$ を評価できるのは、実係数方程式の虚数解が共役ペアで現れるからだ。

$\beta \overline{\beta }=|\beta {|}^2$ は正の実数。解と係数の関係の「3解の積」$\alpha \beta \overline{\beta }=-1$ から $|\beta {|}^2=-\frac{1}{\alpha }$。つまり、虚数解の絶対値は実数解 $\alpha$ が握っている。

あとは $\alpha$ の範囲(1)を、端点の符号(値の正負が入れ替わる区間に解がある)で押さえればよい。

① (1) を示す。 $f(x)=x^3+x+1$ とおくと

$$f(-1)=-1-1+1=-1<0,f(0)=1>0$$

$f$ の値は $x=-1$ と $x=0$ の間で負から正へ変わるから、この間に実数解がある。さらに $x_1<x_2$ なら $x_1^3<x_2^3$ かつ $x_1<x_2$ なので $f(x_1)<f(x_2)$。$f$ は増加関数であり、実数解はただ1つ。よってそれが $\alpha$ で、$-1<\alpha <0$。

② 積の関係を取り出す。 解と係数の関係より $\alpha \beta \overline{\beta }=-1$。$\beta \overline{\beta }=|\beta {|}^2$ だから

$$\alpha |\beta {|}^2=-1⟺|\beta {|}^2=-\frac{1}{\alpha }$$

③ (2) を示す。 $-1<\alpha <0$ より $0<-\alpha <1$ だから

$$|\beta {|}^2=\frac{1}{-\alpha }>1$$

よって $|\beta |>1$。

まとめ: 「求められない解の絶対値は、対称式(積)経由で実数解に押しつける」。(1)の範囲評価がそのまま(2)の絶対値評価になる連鎖が本問の設計で、実係数ならではの共役ペア $\beta \overline{\beta }=|\beta {|}^2$ が橋になっている。

発展 — 一歩先へ。 3解の絶対値の積は $|\alpha ||\beta {|}^2=|-1|=1$。「絶対値の積=定数項の絶対値」という見方をすると、$|\alpha |<1$ と $|\beta |>1$ が積1を通じてシーソーのように釣り合っていることが分かる。片方が小さいほど、もう片方は大きい。

別解

割り算で2次因子を出す(範囲評価が要らないルート)。 実は(1)の範囲を使わずに、(2)をもっと強い形で出せる。

$f(x)=x^3+x+1$ を $x-\alpha$ で割る(組立除法)。${\alpha }^3+\alpha +1=0$ を使うと、割り切れて

$$x^3+x+1=(x-\alpha )\left(x^2+\alpha x+({\alpha }^2+1)\right)$$

(検算: 定数項は $-\alpha ({\alpha }^2+1)=-{\alpha }^3-\alpha =1$ ✓。)

虚数解 $\beta ,\overline{\beta }$ は後ろの2次式の解だから、解と係数の関係で

$$|\beta {|}^2=\beta \overline{\beta }={\alpha }^2+1$$

$\alpha$ は実数で、$f(0)=1\ne 0$ から $\alpha \ne 0$。よって

$$|\beta {|}^2={\alpha }^2+1>1$$

一瞬で終わった。$|\beta {|}^2$ には $-\frac{1}{\alpha }$(本解)と ${\alpha }^2+1$(本ルート)の2つの顔があり、両者が等しいこと自体が ${\alpha }^3+\alpha +1=0$ の言い換えになっている。表示の選び方ひとつで、必要な情報量($\alpha$ の範囲の要・不要)まで変わる好例だ。