相反方程式(t=x+1/x で次数下げ)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 係数 $1,-5,6,-5,1$ が左右対称(相反方程式)。この形には決まった攻め筋がある。

$x=0$ は解でないから $x^2$ で割ってよい。すると $\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-5\left(x+\frac{1}{x}\right)+6=0$ と、$x+\frac{1}{x}$ のかたまりが見えてくる。

$t=x+\frac{1}{x}$ とおけば $x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2$。4次方程式が $t$ の2次方程式に半減する。$t$ を求めたら、$x$ に戻す2次方程式を解いて仕上げる。

① $x^2$ で割る。 $x=0$ は解でない($1\ne 0$)。両辺を $x^2$ で割ると $$x^2-5x+6-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}=0⟹\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-5\left(x+\frac{1}{x}\right)+6=0.$$ ② $t$ の $2$ 次に。 $t=x+\frac{1}{x}$、$x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2$ を代入して $$(t^2-2)-5t+6=0⟹t^2-5t+4=0⟹(t-1)(t-4)=0,$$ $t=1$ または $t=4$。

③ $x$ に戻す。

• $t=4$:$x+\frac{1}{x}=4\Rightarrow x^2-4x+1=0\Rightarrow x=2\pm \sqrt{3}$。
• $t=1$:$x+\frac{1}{x}=1\Rightarrow x^2-x+1=0\Rightarrow x=\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}$。

よって解は $x=2\pm \sqrt{3},\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}$。

まとめ 相反方程式を $t=x+\frac{1}{x}$ で $t^2-5t+4=0$ に落とし、$t=1,4$ から実数解 $2\pm \sqrt{3}$ と虚数解 $\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}$。相反方程式(置換)と $2$ 次方程式の融合。

発展 — 一歩先へ。 奇数次の相反方程式は必ず $x=-1$ を解にもつ(係数の対称性から $f(-1)=0$)。だから $(x+1)$ で割れば偶数次の相反方程式に落ち、あとは本問と同じ $t=x+\frac{1}{x}$ の手順に乗る。5次でも7次でも、相反と見抜けば次数は実質半分になる。

別解

別解 — 「2次式 $\times$ 2次式」に直接割る(得意な人向けの高い視点)。 相反方程式は定数項が $1$。そこで

$$x^4-5x^3+6x^2-5x+1=(x^2+px+1)(x^2+qx+1)$$

と、定数項 $1$ どうしの積の形を仮定して係数を比べる。

$x^3$ の係数から $p+q=-5$。$x^2$ の係数から $pq+2=6$、すなわち $pq=4$($x$ の係数 $p+q=-5$ とも整合)。

和 $-5$・積 $4$ だから $p,q$ は $u^2+5u+4=0$ の解で $-1$ と $-4$。よって

$$(x^2-x+1)(x^2-4x+1)=0.$$

$x^2-4x+1=0$ から $x=2\pm \sqrt{3}$、$x^2-x+1=0$ から $x=\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}$。

$t=x+\frac{1}{x}$(本解)は、この分解を自動で見つける仕掛けだったと分かる($t$ の2解 $1,4$ が2つの2次因子に対応している)。