3つの条件から割った余りを求める

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $(x-1)(x-2)(x-3)$($3$ 次)で割った余りは $2$ 次以下。$r(x)=a{x}^2+bx+c$ とおく。

$P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)Q(x)+r(x)$ の形。$x=1,2,3$ を代入すると、前半が $0$ になり $P(k)=r(k)$。

剰余の定理から $P(1)=2,P(2)=3,P(3)=6$ が、そのまま $r(1)=2,r(2)=3,r(3)=6$。$3$ つの式を連立して $a,b,c$ を求める。

① 余りの形をおく。 $3$ 次式で割るので $r(x)=a{x}^2+bx+c$($2$ 次以下)。割り算の等式

$$P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)Q(x)+r(x)$$

に $x=1,2,3$ を代入すると、右辺第 $1$ 項が消えて $P(k)=r(k)$。剰余の定理より $P(1)=2,P(2)=3,P(3)=6$ だから

$$r(1)=2,r(2)=3,r(3)=6$$

② 連立する。

$$a+b+c=2,4a+2b+c=3,9a+3b+c=6$$

③ 解く。 第 $2$ 式 $-$ 第 $1$ 式:$3a+b=1$。第 $3$ 式 $-$ 第 $2$ 式:$5a+b=3$。引くと $2a=2$、$a=1$、$b=-2$、$c=3$。よって

$$r(x)=x^2-2x+3$$

まとめ:「複数の余りから、まとめて割った余り」は、余りの次数を決めて文字でおき、剰余の定理で値を作って連立。$3$ 次で割れば余りは $2$ 次以下、$3$ 条件でちょうど決まる。

発展 — 一歩先へ。 「$n$ 点での値から $n-1$ 次以下の多項式を復元」がラグランジュ補間。剰余の定理と組み合わせると、「$(x-a_1)\cdots (x-a_n)$ で割った余りは、$a_1,\dots ,a_n$ での値で決まる補間多項式」と分かる。これは中国剰余定理(整数版)の多項式アナロジーで、符号理論や暗号でも使われる。

別解

別解 — ラグランジュ補間で余りを直接書く(得意な人向けの高い視点)。 $r(x)$ は「$r(1)=2,r(2)=3,r(3)=6$」を通る $2$ 次以下の多項式。$3$ 点を通る多項式はラグランジュ補間で一発で書ける。

$$r(x)=2\cdot \frac{(x-2)(x-3)}{(1-2)(1-3)}+3\cdot \frac{(x-1)(x-3)}{(2-1)(2-3)}+6\cdot \frac{(x-1)(x-2)}{(3-1)(3-2)}.$$

分母を計算すると $2,-1,2$。

$$r(x)=(x-2)(x-3)-3(x-1)(x-3)+3(x-1)(x-2).$$

展開して整理すると $r(x)=x^2-2x+3$。

$a,b,c$ を連立で解く本解と同じ余り $x^2-2x+3$。ラグランジュ補間は「$3$ 点を通る $2$ 次式」を連立なしで直接構成する公式。剰余の定理で「割った余り $=$ その点での値」と分かれば、余りは補間そのものだ。