数学II / 複素数と方程式

解と係数の関係(対称式)

★★ 標準解と係数の関係対称式

問題

2次方程式 $x^{2} - 3 x + 5 = 0$ の2つの解を $α$ 、 $β$ とする。次の値を求めよ。

(1) $α^{2} + β^{2}$

(2) $α^{3} + β^{3}$

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$α$ 、 $β$ を個別に求めない。まず和と積を係数から読み、(1)(2)とも『和と積だけの式』に書き換えてから代入する。 $3$ 乗の和の変形がうろ覚えなら、展開して確かめてから使おう。

解答・解説

解を求めずに、解と係数の関係で $α + β$ と $α β$ を出す。対称式は、この2つ(和と積)だけで表せる。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 解を実際に求めると虚数になって計算が重い。解を求めずに済ませるのが、解と係数の関係だ。

$α + β = 3$ 、 $α β = 5$ 。この2つの部品だけを取り出す。

聞かれている式はどちらも対称式( $α$ と $β$ を入れかえても不変)。対称式は必ず和と積だけで書き直せるから、部品2つで足りる。

公式解と係数の関係:

x^{2} + p x + q = 0

の2解は

α + β = - p

、

α β = q

この方程式は $x^{2} - 3 x + 5 = 0$ なので

$α + β = 3, α β = 5$

(1)

公式

α^{2} + β^{2} = (α + β)^{2} - 2 α β

$α^{2} + β^{2} = 3^{2} - 2 \times 5 = 9 - 10 = - 1$

虚数解でも、和と積は実数なので、対称式の値も実数になる。

(2)

公式

α^{3} + β^{3} = (α + β)^{3} - 3 α β (α + β)

$α^{3} + β^{3} = 3^{3} - 3 \times 5 \times 3 = 27 - 45 = - 18$

発展 — 一歩先へ。 $α^{2} + β^{2} = - 1$ という「2乗の和が負」の結果は、解が虚数であることの動かぬ証拠だ。実数なら2乗の和は $0$ 以上に決まっている。答えの符号から解の素性が透けて見える。

別解の次数下げは、整式の割り算の言葉では「 $α^{n}$ を $x^{2} - 3 x + 5$ で割った余りに置き換える」こと。式と証明で学んだ剰余の理論と、解と係数の関係が、ここで1本につながる。

答

(1) $- 1$ (2) $- 18$

対称式の公式を使わず、「解であること」を直接使う次数下げの道もある。

$α$ は方程式の解だから $α^{2} - 3 α + 5 = 0$ 、つまり

$α^{2} = 3 α - 5$

2乗が1次式に化けた。 $β$ も同じだから

$α^{2} + β^{2} = 3 (α + β) - 10 = 9 - 10 = - 1$

3乗も、もう一段下げるだけだ。 $α^{3} = α \cdot α^{2} = α (3 α - 5) = 3 α^{2} - 5 α = 3 (3 α - 5) - 5 α = 4 α - 15$ 。よって

$α^{3} + β^{3} = 4 (α + β) - 30 = 12 - 30 = - 18$

どんなに高い次数でも「2次を1次に落とす」の繰り返しで機械的に下りられる。 $α^{10}$ のような高次の値を問う応用では、対称式の公式よりこちらが本線になる。

対称式は解を求めず、和 $α + β$ と積 $α β$ だけで計算する。
$α^{2} + β^{2} = (α + β)^{2} - 2 α β$ 、 $α^{3} + β^{3} = (α + β)^{3} - 3 α β (α + β)$ 。