4次方程式 x⁴+4=0 を解く

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x^4+4=0$ をいきなり複素数で解くより、実数の範囲で因数分解するのが賢い。$3$ 項に見えないが、平方の差を作る。

$x^4+4=x^4+4x^2+4-4x^2=(x^2+2{)}^2-(2x{)}^2$。$4x^2$ を足して引くのがコツだ。

平方の差の公式で $(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)$。各 $2$ 次方程式を解の公式で解けば、$x=\pm 1\pm i$($4$ 個)。

① 因数分解する。

$$x^4+4=(x^2+2{)}^2-(2x{)}^2=(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)$$

② 各 $2$ 次方程式を解く。

• $x^2+2x+2=0$:$x=\frac{-2\pm \sqrt{4-8}}{2}=\frac{-2\pm 2i}{2}=-1\pm i$。
• $x^2-2x+2=0$:$x=\frac{2\pm \sqrt{4-8}}{2}=1\pm i$。

よって

$$x=1+i,1-i,-1+i,-1-i$$

まとめ:$x^4+(\text{定数})$ の形は、平方の差を作って $2$ 次式の積に分解するのが定石。$4$ 次方程式は $2$ 次 $2$ つに分けて、それぞれを複素数の範囲で解く。$4$ つの解が $\pm 1\pm i$ と対称に並ぶのが美しい。

発展 — 一歩先へ。 $x^4+4=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$ はソフィー・ジェルマンの恒等式 $x^4+4y^4=(x^2-2xy+2y^2)(x^2+2xy+2y^2)$($y=1$)。この分解から、$n^4+4$ が素数になるのは $n=1$($=5$)だけ、と分かる($n\ge 2$ で $2$ つの因数が両方 $>1$)。因数分解が素数判定に効く好例だ。

別解

別解 — 極形式(ド・モアブル)で $4$ 乗根を並べる(得意な人向けの視点)。 $x^4=-4$ を、右辺を極形式にして解く。$-4=4(\cos 180°+i\sin 180°)$。

$4$ 乗根は、絶対値が $\sqrt[4]{4}=\sqrt{2}$、偏角が $\frac{180°+360°k}{4}=45°+90°k$($k=0,1,2,3$)。

$$x=\sqrt{2}(\cos (45°+90°k)+i\sin (45°+90°k)).$$

$k=0$: $\sqrt{2}(\cos 45°+i\sin 45°)=\sqrt{2}\cdot \frac{1+i}{\sqrt{2}}=1+i$。$k=1$: 偏角 $135°$ で $-1+i$。$k=2$: $225°$ で $-1-i$。$k=3$: $315°$ で $1-i$。

$4$ 解 $1+i,-1+i,-1-i,1-i$ は、複素数平面で正方形の頂点をなす。実数の因数分解(本解)と同じ答えに、極形式では「$4$ 乗根は偏角を $4$ 等分して $90°$ ずつ回す」という規則から着く。$1$ の $n$ 乗根が正 $n$ 角形をなすのと同じ、円周の等分だ。