数学II / 複素数と方程式

複素数の除法

★★ 標準複素数の除法分母の実数化

問題

$\frac{3 + i}{1 - 2 i}$ を $a + bi$ ( $a$ 、 $b$ は実数)の形にせよ。

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分母から $i$ を追い出したい。分母・分子に何をかければ、分母が『 $2$ 乗の和』の形の実数になるだろう。

解答・解説

分母に $i$ があると $a + bi$ の形にならない。分母の共役を上下にかけて、分母を実数にする(分母の実数化)。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 ゴールは $a + bi$ の形。邪魔なのは分母の $i$ だ。

分母 $1 - 2 i$ の共役 $1 + 2 i$ を、分子と分母の両方にかける。共役の積は $a^{2} + b^{2}$ の実数になるから、分母から $i$ が消える。

分数の値を変えずに形だけ変える。「分母の実数化」は、無理数の分母の有理化とまったく同じ発想である。

公式分母の実数化:分母の共役を上下にかける。

(c + d i) (c - d i) = c^{2} + d^{2}

(実数)

分母 $1 - 2 i$ の共役 $1 + 2 i$ を、分母・分子にかける。

$\frac{3 + i}{1 - 2 i} = \frac{( 3 + i ) ( 1 + 2 i )}{( 1 - 2 i ) ( 1 + 2 i )}$

分母は共役の積なので実数。

$(1 - 2 i) (1 + 2 i) = 1^{2} + 2^{2} = 5$

分子を展開する。

$(3 + i) (1 + 2 i) = 3 + 6 i + i + 2 i^{2} = 3 + 7 i - 2 = 1 + 7 i$

まとめて

$\frac{1 + 7 i}{5} = \frac{1}{5} + \frac{7}{5} i$

発展 — 一歩先へ。 「共役をかけて分母を実数に」は、 $2$ の有理化・数学IIIの極限の変形と同じ、「相方をかけて世界を戻す」一族の技だ。

複素数では $0$ 以外のどんな数でも割り算ができる(実数化が必ず成功する)。この「四則がすべて自由にできる」性質こそ、複素数を数の体系のゴールたらしめている事実で、方程式が必ず解ける世界(代数学の基本定理)の土台になっている。

答

$\frac{1}{5} + \frac{7}{5} i$

割り算を「掛け算の逆」として、正面から解く道もある。

求める商を $z = a + bi$ とおくと、 $\frac{3 + i}{1 - 2 i} = z$ は $(1 - 2 i) z = 3 + i$ ということだ。

左辺を展開すると $(a + 2 b) + (b - 2 a) i$ 。実部・虚部を右辺と比べて

$a + 2 b = 3, b - 2 a = 1$

連立を解いて $a = \frac{1}{5}$ 、 $b = \frac{7}{5}$ 。共役ルートと同じ答えになる。

手数は多いが、「割り算とは掛けて元に戻る数を探すこと」という定義そのものを体験できる。共役をかける技は、この連立を一発で解くための仕掛けだった、と種明かしされる別解である。