高次式を2次式で割った余り

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x^{100}$ を割るとき、$x^2+x+1$ が $x^3-1$ の因数だと気づくのが核心だ。

この式で割る世界では $x^3=1$ と置ける。だから指数 $100$ を、$x^3=1$ で一気に削れる。

割る式から $x^3=1$ を引き出し、指数を減らす。この飛躍が発想の要だ。

$x^2+x+1$ は $x^3-1$ の因数。だから、この式で割った余りを考えるときは、$x^3$ を $1$ に置きかえてよい。

指数 $100$ を $3$ で割ると $100=3\times 33+1$。よって

$$x^{100}=(x^3{)}^{33}\cdot x\equiv 1^{33}\cdot x=x$$

$x$ は1次式(割る式の次数 $2$ より低い)なので、これが余り。

$$\text{余り}=x$$

まとめ:念のため確かめると、$x^{100}-x=x(x^{99}-1)=x\{(x^3{)}^{33}-1\}$ は $x^3-1$、つまり $x^2+x+1$ で割り切れる。だから余りは確かに $x$。

発展 — 一歩先へ。 「$x^2+x+1$ で割った余り」を考えるのは、$x^3=1$ という関係の世界で計算するのと同じだ。この世界では $x$ の累乗が $1,x,x^2,1,x,x^2,\dots$ と周期 $3$ でぐるぐる回る。だから余りは、指数 $100$ を $3$ で割った余りだけで決まる。

$x^2+x+1$ は $x^3-1$ を $x-1$ で割ったもので、$3$ 番目の円分多項式とよばれる。その解は $1$ の原始 $3$ 乗根だ。

一般に $x^n$ を $x^k-1$ の因数で割る問題は、指数を $k$ で割った余りに帰着する。整数の余り(合同式)と同じ構造が、多項式の世界にもある。

別解

別解 — 余りを文字でおき、割る式の解を代入する(得意な人向けの視点)。 割る式 $x^2+x+1$ の $2$ 解を $\omega$、${\omega }^2$ とする($x^2+x+1=0$ の解で、${\omega }^3=1$)。

余りは $1$ 次以下だから、$x^{100}=(x^2+x+1)Q(x)+cx+d$ とおく。両辺に $x=\omega$、$x={\omega }^2$ を代入すると、右辺の第 $1$ 項は消える。

$${\omega }^{100}=c\omega +d,{\omega }^{200}=c{\omega }^2+d$$

${\omega }^3=1$ より ${\omega }^{100}={\omega }^{99}\cdot \omega =\omega$、${\omega }^{200}={\omega }^{198}\cdot {\omega }^2={\omega }^2$。よって

$$c\omega +d=\omega ,c{\omega }^2+d={\omega }^2$$

$2$ 式を引くと $c(\omega -{\omega }^2)=\omega -{\omega }^2$、$\omega \ne {\omega }^2$ だから $c=1$。戻して $d=0$。

余りは $x$ で、$x^3=1$ で指数を落とす本解と同じ。割る式の解を代入する方法は、余りを直接連立で決められるのが強みだ。