実数係数と共役解

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 実数係数の方程式は、虚数解が来れば共役も必ず解になる。

この一言で、$3-2i$ から相棒 $3+2i$ が手に入る。

$2$ 解が揃えば、和と積から方程式が復元できる。実数係数なら共役もセットで解、という事実の使いどころだ。

よって、もう1つの解は $3-2i$ の共役 $3+2i$。

2解の和と積を出す。

$$(3-2i)+(3+2i)=6$$

$$(3-2i)(3+2i)=3^2+2^2=9+4=13$$

和 $6$、積 $13$ なので、求める2次方程式は

$$x^2-6x+13=0$$

共役な2解の和・積はどちらも実数になるので、係数もちゃんと実数になる。

発展 — 一歩先へ。 $3-2i$ を解にもつ実数係数の多項式で、最も次数の低いものがこの $x^2-6x+13$ だ。これを $3-2i$ の最小多項式という。実数係数のどんな方程式も、$3-2i$ を解にもつなら必ずこの $2$ 次式で割り切れる。

$2$ 解 $3\pm 2i$ は、複素数平面では実軸に関して対称な鏡像の位置にある。だから和 $6$ は実数、積 $|3-2i{|}^2=13$ も実数になり、係数が実数にそろう。

同じ「共役をとると解が入れかわる」しくみは、係数を有理数にしても働く。$\sqrt{2}$ が有理数係数の方程式の解なら $-\sqrt{2}$ も必ず解になり、最小の方程式は $x^2-2=0$ だ。係数の範囲を保ったまま共役をとる操作が、解の顔ぶれをそっくり保つ。この解どうしの対称性を調べるのが、いずれ学ぶガロア理論の出発点になる。

別解

別解 — 共役ペアを差の積の形でまとめる(得意な人向けの視点)。 求める方程式は $2$ 解 $3-2i$、$3+2i$ をもつ。$x^2$ の係数が $1$ だから、$(x-(3-2i))(x-(3+2i))=0$ と書ける。

この $2$ つの因数は、$x-3$ を共通のかたまりと見ると差の積になる。

$$(x-(3-2i))(x-(3+2i))=((x-3)+2i)((x-3)-2i)=(x-3{)}^2-(2i{)}^2$$

$(2i{)}^2=-4$ だから、$(x-3{)}^2+4$。展開して

$$(x-3{)}^2+4=x^2-6x+9+4=x^2-6x+13$$

和と積を別々に計算する本解と同じ $x^2-6x+13=0$ にたどり着く。共役ペアは $(x-p{)}^2+q^2$ の形にまとまる、と覚えておくと展開が速い。