数学II / 複素数と方程式

高次方程式を解く

★★ 標準高次方程式

問題

方程式 $x^{4} - 16 = 0$ を解け。

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$x^{4} - 16$ は『 $2$ 乗の差』の形とみなせる。分解して出てきた各因数について、実数解も虚数解も全部拾うこと。 $4$ 次方程式の解は $4$ 個ある。

解答・解説

和と差の積で次々に因数分解する。 $x^{2} + 4 = 0$ の部分は虚数解になる。実数解だけで止めない。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 高次方程式の基本方針は因数分解だ。 $x^{4} - 16$ は和と差の積が2段で効く。

$x^{4} - 16 = (x^{2} - 4) (x^{2} + 4) = (x - 2) (x + 2) (x^{2} + 4)$

$x^{2} + 4 = 0$ の部分で手を止めない。複素数の範囲では $x = \pm 2 i$ という解がある。

4次方程式だから解は(重複を込めて)4個。実数解2個で終わったら、数え落としのサインだ。

公式

A^{2} - B^{2} = (A + B) (A - B)

。

x^{2} = - a

(

a > 0

)の解は

x = \pm a i

$x^{4} - 16 = (x^{2})^{2} - 4^{2}$ とみて、和と差の積。

$x^{4} - 16 = (x^{2} - 4) (x^{2} + 4)$

$x^{2} - 4 = 0$ から $x = \pm 2$ (実数解)。

$x^{2} + 4 = 0$ から $x^{2} = - 4$ 、つまり

$x = \pm 4 i = \pm 2 i$

よって解は $x = 2, - 2, 2 i, - 2 i$ の4つ。

発展 — 一歩先へ。 「 $n$ 次方程式は複素数の範囲で(重複を込めて)ちょうど $n$ 個の解を持つ」— 代数学の基本定理だ。「解が何個出るはずか」を先に知っていることは、解き落としへの最強の防御になる。

$x^{4} = 16$ の解が円周の4等分点に並んだように、 $x^{n} = a$ の解は常に円周の $n$ 等分点に並ぶ。方程式の解が幾何学の対称性を宿している、という視界は複素数平面で開ける。

答

$x = 2, - 2, 2 i, - 2 i$

$t = x^{2}$ と置いて、2段の2次方程式として解く道もある。

$t^{2} = 16$ から $t = 4$ または $t = - 4$ (2乗して $16$ になる実数は $\pm 4$ の両方だ)。

合わせて4つの解 $x = 2, - 2, 2 i, - 2 i$ 。

答えの4つを眺めると、どれも「大きさが $2$ 」で、実軸・虚軸の上下左右の4方向に並んでいる。 $x^{4} = 16$ の解は、原点を中心とする半径 $2$ の円周を4等分した点なのだ。この美しい配置の種明かし(1の $n$ 乗根)は、数学Cの複素数平面で待っている。