数学II / 複素数と方程式

相反方程式

★★★ 応用高次方程式相反方程式

問題

方程式 $x^{4} - 3 x^{3} + 4 x^{2} - 3 x + 1 = 0$ を解け。

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係数の並びが左右対称(相反型)。両辺を $x^{2}$ で割ってみると、『 $x$ とその逆数』のペアばかりの式になる。そのペアを $1$ つの文字にまとめられるか。

解答・解説

方針

係数が左右対称(相反方程式)。両辺を $x^{2}$ で割ると、 $x + \frac{1}{x}$ のかたまりが作れる。これを1文字 $t$ に置きかえると、次数が半分になる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 係数の並びが左右対称だ。これは相反方程式の合図。

見たら $x^{2}$ で割り、 $x + \frac{1}{x} = t$ と置く。すると次数が半分になる。

相反なら $x^{2}$ で割って $t$ に置換する。この一連の型を、対称な係数を目印に発動する。

重要相反方程式(係数が左右対称)は、

x^{2}

で割って

x + \frac{1}{x} = t

と置きかえる

$x = 0$ は解ではない(代入すると $1 \neq = 0$ )ので、両辺を $x^{2}$ で割れる。

$x^{2} - 3 x + 4 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x ^{2}} = 0$

$x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ と $x + \frac{1}{x}$ のかたまりで並べかえる。

$(x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}) - 3 (x + \frac{1}{x}) + 4 = 0$

$t = x + \frac{1}{x}$ とおくと $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = t^{2} - 2$ なので

$t^{2} - 2 - 3 t + 4 = 0 \Rightarrow t^{2} - 3 t + 2 = 0 \Rightarrow (t - 1) (t - 2) = 0$

よって $t = 1$ または $t = 2$ 。もとの $x$ に戻す。

$t = 2$ のとき $x + \frac{1}{x} = 2$ 、両辺に $x$ をかけて $x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 、 $(x - 1)^{2} = 0$ より $x = 1$ (重解)。

$t = 1$ のとき $x + \frac{1}{x} = 1$ 、同様に $x^{2} - x + 1 = 0$ 。解の公式で

$x = \frac{1 \pm 1 - 4}{2} = \frac{1 \pm 3 i}{2}$

発展 — 一歩先へ。 本問の $4$ 解 $1, 1, \frac{1 \pm 3 i}{2}$ は、すべて絶対値が $1$ 。つまり複素数平面の単位円上に乗る。 $\frac{1 + 3 i}{2} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$ で確かめられる。

実数係数の相反方程式は、 $2$ 種類の対称性を同時にもつ。相反性による $r \leftrightarrow \frac{1}{r}$ と、実数係数による $r \leftrightarrow \overset{r}{ˉ}$ だ。だから実軸上にも単位円上にもない解は、 $r, \frac{1}{r}, \overset{r}{ˉ}, \frac{1}{r ˉ}$ の $4$ つ組でまとめて現れる。

解が単位円上にあると $\frac{1}{r} = \overset{r}{ˉ}$ となり、この $4$ つ組は共役ペアに縮む。実数解なら $\frac{1}{r}$ が相棒だ。本問の解はすべて単位円上か $x = 1$ に落ちたので、 $4$ つ組がどれもペアに縮んで見えた。相反方程式の根が単位円に並ぶか実軸で逆数を組むか、その分かれ目を決めるのがこの二重の対称性だ。

答

$x = 1$ (重解)、 $x = \frac{1 \pm 3 i}{2}$

別解

別解 — $2$ つの相反 $2$ 次式の積に因数分解する(得意な人向けの視点)。 係数が左右対称なので、 $(x^{2} + p x + 1) (x^{2} + q x + 1)$ の形に分解できると見当をつける。

展開すると $x^{4} + (p + q) x^{3} + (2 + pq) x^{2} + (p + q) x + 1$ 。もとの式と係数を比べる。

$p + q = - 3, 2 + pq = 4 \Rightarrow pq = 2$

$p, q$ は和 $- 3$ ・積 $2$ だから、 $s^{2} + 3 s + 2 = 0$ の解、すなわち $- 1$ と $- 2$ 。よって

$(x^{2} - x + 1) (x^{2} - 2 x + 1) = 0$

$x^{2} - 2 x + 1 = (x - 1)^{2}$ から $x = 1$ (重解)、 $x^{2} - x + 1 = 0$ から $x = \frac{1 \pm 3 i}{2}$ 。

$t = x + \frac{1}{x}$ で次数を下げる本解と同じ答え。相反 $4$ 次は「相反 $2$ 次 $\times$ 相反 $2$ 次」に割れる、と見抜ければ置換なしで因数分解できる。

ポイント

相反方程式は $x^{2}$ で割って $x + 1/ x = t$ 置換で次数を半分に。
$x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2$ を使う。

よくある間違い

$t = x + \frac{1}{x}$ を $t = 1, 2$ と求めた時点で満足し、 $x$ に戻す本番の作業を忘れる。
$x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = t^{2} - 2$ の $- 2$ を落とし、 $t^{2} - 3 t + 4 = 0$ と定数を誤る。
$t = 2$ の $x^{2} - 2 x + 1 = 0$ が重解 $x = 1$ なのを、異なる $2$ 解と数えて解の個数を誤る。