因数定理による因数分解

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $3$ 次式の因数分解は、「$0$ になる値」を $1$ つ見つけるところから始まる。

因数定理: $P(k)=0$ なら、$P(x)$ は $(x-k)$ を因数に持つ。

では、$k$ をどう探すか。 やみくもに代入してはいけない。候補は限られている。

$$\text{(整数解の候補)}=\pm (\text{定数項の約数})$$

$P(x)=x^3-2x^2-5x+6$ の定数項は $6$。約数は $1,2,3,6$ だから、候補は

$$\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6$$

この $8$ 個だけ試せばよい。

$x=1$ から。 実は $1$ を代入した値は、係数を全部足したものだ。

$$1-2-5+6=0$$

当たり。 $P(1)=0$ なので $(x-1)$ が因数だ。

「係数の和が $0$ なら、$x=1$ が解」 — この見抜きは一瞬でできる。まず $x=1$ を試すのが定跡である。

定数項 $6$ の約数を試すと、$P(1)=1-2-5+6=0$。よって $x-1$ が因数。$P(x)$ を $x-1$ で割ると

$$P(x)=(x-1)(x^2-x-6)$$

残りの $x^2-x-6$ をさらに因数分解して

$$P(x)=(x-1)(x-3)(x+2)$$

(最初の1つを因数定理で見つけ、割り算で次数を下げるのがこの型のコツだ。)

発展 — 一歩先へ。 「整数解の候補は定数項の約数」— この定理は、有理数解に一般化される。

$$\text{整数係数の方程式 }{a}_n{x}^n+\cdots +a_0=0\text{の有理数解 }\frac{q}{p}(\text{既約})\text{は}$$

$$p\text{は}{a}_n\text{の約数},q\text{は}{a}_0\text{の約数}$$

有理根定理という。分子は定数項の約数、分母は最高次係数の約数。

この定理には、意外な使い道がある。 $\sqrt{2}$ が無理数であることの証明だ。

$\sqrt{2}$ は $x^2-2=0$ の解である。有理根定理より、有理数解があるとすれば $\pm 1$、$\pm 2$ しかありえない(分母は $1$ の約数 $=1$、分子は $2$ の約数)。

しかし、$1^2-2=-1\ne 0$、$2^2-2=2\ne 0$ — どれも解ではない。

したがって $x^2=2$ に有理数解はない。$\sqrt{2}$ は無理数である。 証明終わり。

背理法で「$\sqrt{2}=\frac{q}{p}$ と置いて $\dots$」とやる有名な証明より、こちらのほうが速いかもしれない。しかも $\sqrt[3]{5}$ でも $\sqrt{7}$ でも、同じ手が一発で通る。

$x^3-2=0$ の有理数解の候補は $\pm 1$、$\pm 2$。どれも解でない → $\sqrt[3]{2}$ は無理数。

方程式の解を探す道具が、数の性質(無理性)を証明する道具になった。 代数と数論が握手している — 因数定理は、思ったより遠くまで届く。

別解

解と係数の関係を使うと、答えの"検算"だけでなく、"候補の絞り込み"までできる。 そして、なぜ整数解の候補が定数項の約数に限られるのかを説明する。

$3$ 次方程式の解と係数の関係。 $x^3-2x^2-5x+6=0$ の $3$ 解を $\alpha$、$\beta$、$\gamma$ とすると

$$\alpha +\beta +\gamma =2(=-\frac{-2}{1})$$

$$\alpha \beta \gamma =-6(=-\frac{6}{1})$$

答えの $1$、$3$、$-2$ で確かめる。

$$1+3+(-2)=2✓$$

$$1\times 3\times (-2)=-6✓$$

完璧に一致した。 因数分解を終えたら、この $2$ つで検算する — 割り算のミスがあれば、ここで必ず露見する。

さて、「なぜ整数解の候補が定数項の約数なのか」。

もし整数 $k$ が解なら、$P(x)$ は $(x-k)$ で割り切れて

$$x^3-2x^2-5x+6=(x-k)(x^2+px+q)$$

と書ける($p$、$q$ は整数)。両辺の定数項を比べる。

$$6=(-k)\times q$$

$6$ が $k$ の倍数になっている — つまり $k$ は $6$ の約数。

これが「候補は定数項の約数」の理由だ。 掛けて $6$ になる数の組しか、定数項を作れないのである。

$3$ 解の積が $-6$ という解と係数の関係も、同じことを言っている。$3$ つの整数の積が $-6$ なら、どれも $6$ の約数でしかありえない。

この絞り込みが、どれほど強力か。 $6$ の約数は $8$ 個($\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6$)。無限にある整数から、$8$ 個まで絞れた。しかも $x=1$ が最初に当たる — 探索は $1$ 回で終わった。

係数が $1$ でない場合の注意。 $2x^3-3x^2-3x+2$ のように最高次の係数が $2$ なら、有理数解の候補は

$$\pm \frac{(\text{定数項の約数})}{(\text{最高次係数の約数})}=\pm 1,\pm 2,\pm \frac{1}{2}$$

分数の候補も入ってくる。 $\frac{1}{2}$ を忘れないこと(実際 $x=-\frac{1}{2}$ がこの式の解の $1$ つだ)。

因数分解の手順を、まとめておく。

1. 定数項の約数を書き出す(最高次の係数が $1$ でないなら、分数の候補も)
2. $x=1$、$x=-1$ から試す(係数の和・交代和が $0$ かで一瞬で判定できる)
3. $1$ つ見つけたら、組立除法で割る
4. 残った $2$ 次式を因数分解(たすき掛け or 解の公式)
5. 解と係数の関係で検算

闇雲に代入するのと、この $5$ 段で攻めるのとでは、速さも正確さもまるで違う。