i の累乗

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $i^{100}$ を $100$ 回掛けるのは無理だ。周期に気づくのが第一手である。

$$i^1=i,i^2=-1,i^3=-i,i^4=1$$

$4$ 乗すると $1$ に戻る。 ということは、そこから先は同じ $4$ つが繰り返す。

$$i^5=i,i^6=-1,i^7=-i,i^8=1,\dots$$

周期 $4$ のサイクル。 だから指数を $4$ で割った余りだけを見ればよい。

• 余り $1$ → $i$
• 余り $2$ → $-1$
• 余り $3$ → $-i$
• 余り $0$ → $1$

(1) $100=4\times 25$ で余り $0$ → $i^{100}=1$

(2) $2023=4\times 505+3$ で余り $3$ → $i^{2023}=-i$

(1) $100=4\times 25$ で余り $0$。$i^{100}=(i^4{)}^{25}=1^{25}=1$。

(2) $2023=4\times 505+3$ で余り $3$。$i^{2023}=i^3=-i$。

発展 — 一歩先へ。 「$i$ を掛けると $90^{\circ }$ 回転」という事実は、複素数の最も重要な性質だ。数Cで、これが一般化される。

$$(\cos \theta +i\sin \theta )\text{を掛けると、}\theta \text{だけ回転する}$$

$i=\cos 90^{\circ }+i\sin 90^{\circ }$ なので、$i$ を掛けるのは $90^{\circ }$ 回転の特別な場合だったわけだ。

そして、$n$ 乗すると回転が $n$ 倍になる。

$$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n=\cos n\theta +i\sin n\theta$$

ド・モアブルの定理である。$i^n$ の周期性は、この定理の $\theta =90^{\circ }$ の場合にすぎない。

この定理は、意外なところで威力を発揮する。 たとえば $3$ 倍角の公式。

$$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^3=\cos 3\theta +i\sin 3\theta$$

左辺を二項定理で展開し、実部どうしを比べると

$$\cos 3\theta ={\cos }^3\theta -3\cos \theta {\sin }^2\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$$

三角関数の公式が、複素数の計算から出てきた。

回転を「数」として扱えるようにしたこと — それが複素数の発明の核心である。だから、平面上の回転が関わるあらゆる場面(交流回路、波動、量子力学)に複素数が現れる。

$i^{2023}$ という単純な計算の裏に、回転の数学が横たわっている。

別解

なぜ周期 $4$ なのか。 座標平面で見ると、その理由が絵で分かる。そして計算を短縮する裏技も紹介する。

$i$ を掛けることは、$90^{\circ }$ の回転である。

複素数を座標平面の点と見よう($a+bi$ を点 $(a,b)$ に対応させる)。実数 $1$ は点 $(1,0)$、虚数 $i$ は点 $(0,1)$ だ。

$1$ に $i$ を掛けると $i$。 点 $(1,0)$ が点 $(0,1)$ に移った — 原点まわりに $90^{\circ }$ 回転している。

$i$ に $i$ を掛けると $i^2=-1$。 点 $(0,1)$ が点 $(-1,0)$ へ — また $90^{\circ }$ 回転した。

$$1\stackrel{\times i}{\to }i\stackrel{\times i}{\to }-1\stackrel{\times i}{\to }-i\stackrel{\times i}{\to }1$$

$4$ 回まわると $360^{\circ }$、つまり元の位置に戻る。

「周期 $4$」の正体は、$90^{\circ }\times 4=360^{\circ }$ だった。 暗記する必要はまったくない — 時計の針が $1$ 周するのと同じことだ。

$i^{2023}$ を、この目で見る。 $2023$ 回、$90^{\circ }$ ずつ回る。

$$2023\times 90^{\circ }=182070^{\circ }$$

$360^{\circ }$ で割った余りを見ると

$$182070=360\times 505+270$$

$270^{\circ }$ の位置 — それは $-i$ である ✓。

「回転の余り」と「指数の余り」は、同じことを言っている。

そして、計算を短くする裏技。

$i^{2023}$ を計算するのに、$2023$ を $4$ で割るのは面倒だ($2023=4\times 505+3$)。もっと楽な手がある。

キリのいい指数から、逆算する。

$$i^{2024}=1(2024\text{は 4 の倍数だと、すぐ分かる})$$

$$i^{2023}=\frac{i^{2024}}{i}=\frac{1}{i}$$

$$\frac{1}{i}=\frac{1\times i}{i\times i}=\frac{i}{-1}=-i✓$$

$4$ の倍数を探すほうが、割り算より速いことが多い。 $2024$ は下 $2$ 桁 $24$ が $4$ で割れるので、$4$ の倍数だとすぐ分かる($4$ の倍数判定は下 $2$ 桁 — 整数の性質で学んだ通りだ)。

$\frac{1}{i}=-i$ という関係も、覚えておくと便利。 $i$ の逆数は $-i$ — $i$ で割ることは、$-i$ を掛けること($90^{\circ }$ の逆回転)である。

まとめ。

• 代数の目: 指数を $4$ で割った余りで決まる
• 幾何の目: $90^{\circ }$ 回転が $4$ 回で $1$ 周する

同じ事実の $2$ つの顔。 どちらか一方でも解けるが、両方持っていると忘れない。