複素数の相等

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 複素数の相等とは、「実部どうしが等しく、虚部どうしが等しい」こと。

$$a+bi=c+di⟺a=c\text{かつ}b=d(a,b,c,d\text{は実数})$$

$1$ つの複素数の等式は、実数の等式 $2$ 本ぶんの情報を持っている。だから、未知数が $2$ つでも解ける。

手順は「左辺を $\square +\square i$ の形に整理する」だけ。

$$(a+bi)(1+2i)=a+2ai+bi+2b{i}^2=(a-2b)+(2a+b)i$$

$2b{i}^2=-2b$ が実部に移る — ここを忘れない。

右辺 $5i$ の実部は $0$(見えていないだけで $0+5i$)。

$$a-2b=0,2a+b=5$$

$2$ 元 $1$ 次の連立方程式になった。複素数の問題が、中学の連立方程式に化けた。

左辺を展開する。

$$(a+bi)(1+2i)=a+2ai+bi+2b{i}^2=(a-2b)+(2a+b)i$$

右辺 $5i$ は実部 $0$、虚部 $5$。実部・虚部を比べて

$$a-2b=0,2a+b=5$$

第1式より $a=2b$。第2式に入れて $4b+b=5$、$b=1$、$a=2$。

$$a=2,b=1$$

発展 — 一歩先へ。 「実部と虚部を比べてよい」のは、$a$、$b$ が実数だからである。ここは意外に見落とされる。

$$a+bi=c+di⟹a=c,b=d$$

この推論は、$a$、$b$、$c$、$d$ がすべて実数のときにしか使えない。

なぜか。 もし $a$ や $b$ が複素数でもよいなら、たとえば

$$\underset{a}{\underbrace{0}}+\underset{b}{\underbrace{1}}\cdot i=\underset{c}{\underbrace{i}}+\underset{d}{\underbrace{0}}\cdot i$$

のように、同じ数を違う形で書けてしまう($a=0,b=1$ でも $c=i,d=0$ でも、どちらも $i$ を表す)。これでは「係数を比べる」ことに意味がない。

実数 $a$、$b$ を使った $a+bi$ という表し方は、$1$ 通りに決まる(一意性)。この一意性があるからこそ、係数比較が正当化される。

同じ構造は、他の場面にもある。

• ベクトルの $1$ 次独立: $\vec{a}$、$\vec{b}$ が $1$ 次独立なら、$s\vec{a}+t\vec{b}=s^{\prime }\vec{a}+t^{\prime }\vec{b}$ から $s=s^{\prime }$、$t=t^{\prime }$ が言える
• 恒等式の係数比較: $x$ が任意の実数なら、多項式の係数が一致する
• $\sqrt{2}$ の無理性: $a+b\sqrt{2}=c+d\sqrt{2}$($a,b,c,d$ 有理数)なら $a=c$、$b=d$

共通するのは、$1$ 通りにしか表せないという一意性だ。$1$ と $i$ は、実数の世界から見ると独立した $2$ 方向なのである($1$ 次独立、という言葉がそのまま当てはまる)。

係数比較という当たり前の操作の裏に、一意性という保証書がある。 数学では、当たり前に見えるものほど、根拠を確かめておく価値がある。

別解

連立方程式を立てずに、割り算 $1$ 回で終わらせる。 「$a+bi$ を求めよ」と読み替えれば、これはただの除法だ。

方程式を、$a+bi$ について解く。

$$(a+bi)(1+2i)=5i$$

両辺を $(1+2i)$ で割る。

$$a+bi=\frac{5i}{1+2i}$$

あとは、分母の実数化(前問の技)。 分母の共役 $1-2i$ を、分子・分母に掛ける。

$$\frac{5i}{1+2i}=\frac{5i(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}=\frac{5i-10i^2}{1-4i^2}=\frac{5i+10}{1+4}=\frac{10+5i}{5}=2+i$$

$a+bi=2+i$ だから、実部と虚部を見比べて

$$a=2,b=1$$

連立方程式を解かずに、答えが出た ✓。

どちらのルートを選ぶべきか。

• 未知数が「$a+bi$ の形にまとまっている」 → 割り算ルートが速い
• 未知数がバラバラに散らばっている(例: $a(1+i)+b(2-i)=3$)→ 係数比較ルート

この問題は、$a+bi$ がひとかたまりで掛けられているので、割り算が効く。式の形を見て、道具を選ぶ。

検算は代入で。

$$(2+i)(1+2i)=2+4i+i+2i^2=2+5i-2=5i✓$$

ぴったり $5i$。 実部がきれいに $0$ になっている。

「実部が $0$」という条件の意味。 右辺 $5i$ は純虚数(実部が $0$ の複素数)だ。この問題は、実は

$$\text{「(a+bi)(1+2i) が純虚数になるような a、b を求めよ」}$$

と(絶対値の条件を除けば)似た問いになっている。純虚数である、とは実部が $0$ ということ — この翻訳が、複素数の問題では頻出する。

• 実数である → 虚部が $0$($z=\bar{z}$ とも書ける)
• 純虚数である → 実部が $0$、かつ $z\ne 0$($z=-\bar{z}$ とも書ける)

条件を「実部・虚部の言葉」に翻訳する。 複素数の問題を解くとき、最初にやるべきはいつもこれである。