共役複素数

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 共役複素数 $\bar{z}$ とは、虚部の符号だけを反転させたもの。

$$z=3-2i⟹\bar{z}=3+2i$$

実部はそのまま、虚部だけひっくり返す。

(1) 足すと、虚部が打ち消し合う。

$$z+\bar{z}=(3-2i)+(3+2i)=6$$

$i$ が消えて実数になった。 これは偶然ではなく、$z+\bar{z}=2\times (\text{実部})$ — いつでも実数だ。

(2) 掛けても、実数になる。

$$z\bar{z}=(3-2i)(3+2i)=9-(2i{)}^2=9-(-4)=13$$

和と差の積の形($a^2-b^2$)で計算するのが速い。$(2i{)}^2=4i^2=-4$ に注意。

$z^2$ と $z\bar{z}$ は別物だ。 $(3-2i{)}^2=5-12i$ で、複素数のまま。共役を掛けるから、実数になる。

$z=3-2i$ の共役は $\bar{z}=3+2i$。

(1) $z+\bar{z}=(3-2i)+(3+2i)=6$。

(2) $z\bar{z}=(3-2i)(3+2i)=3^2-(2i{)}^2=9+4=13$。

(共役どうしの和・積は、いつも実数になる。$z\bar{z}=a^2+b^2$ は $|z{|}^2$ でもある。)

発展 — 一歩先へ。 共役をとる操作($z\mapsto \bar{z}$)は、四則演算と完全に交換するという、驚くべき性質を持つ。

$$\overline{z+w}=\bar{z}+\bar{w},\overline{zw}=\bar{z}\bar{w},\overline{\left(\frac{z}{w}\right)}=\frac{\bar{z}}{\bar{w}}$$

「先に計算してから共役をとる」と「先に共役をとってから計算する」が、同じ結果になる。

この性質のおかげで、方程式の解の共役も、また解になることが証明できる。実数係数の方程式 $P(z)=0$ で、$P$ の係数が実数なら

$$\overline{P(z)}=P(\bar{z})$$

(係数は実数なので、共役をとっても変わらない。)だから

$$P(z)=0⟹P(\bar{z})=\overline{P(z)}=\bar{0}=0$$

$z$ が解なら、$\bar{z}$ も解。 前問で見た「虚数解はペアで現れる」が、$1$ 行で証明された。

共役は、複素数平面の"鏡映"である。 実軸を鏡にして、上下をひっくり返す操作だ。

「鏡に映しても、方程式は同じ形をしている」 — 係数が実数であるということの、幾何的な意味である。実数だけで書かれた世界は、上下対称なのだ。

対称性が、解の構造を決める。 この視点は、大学で学ぶガロア理論(方程式が解けるかどうかを、解の対称性で判定する理論)へまっすぐ続いている。$5$ 次以上の方程式に解の公式がないという有名な定理も、この道の先にある。

別解

文字で一般化すると、この $2$ つの値の"正体"が見えてくる。 そして、それがこの後の学習(解と係数の関係、$2$ 次方程式の虚数解)に直結する。

$z=a+bi$($a$、$b$ は実数)として計算する。

$$\bar{z}=a-bi$$

和。

$$z+\bar{z}=(a+bi)+(a-bi)=2a$$

$$\boxed{z+\bar{z}=2\times (\text{実部})}$$

積。

$$z\bar{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi{)}^2=a^2-b^2{i}^2=a^2+b^2$$

$$\boxed{z\bar{z}=a^2+b^2=|z{|}^2}$$

積は、絶対値の $2$ 乗になる。 $z=3-2i$ なら $3^2+2^2=13$ ✓ — 三平方の定理の形だ。

この $2$ つは、必ず実数になる。 だから「複素数を実数に変える装置」として使える。分母の実数化で共役を掛けたのは、まさにこの性質を利用していた。

そして、ここからが本題だ。この $2$ 数には、隠れた意味がある。

和 $6$、積 $13$ — この $2$ つを見て、何か思い出さないだろうか。

解と係数の関係だ。$z$ と $\bar{z}$ を $2$ 解とする $2$ 次方程式は

$$x^2-(z+\bar{z})x+z\bar{z}=0$$

$$x^2-6x+13=0$$

係数がすべて実数になっている!

確かめる。 この方程式を解くと

$$x=\frac{6\pm \sqrt{36-52}}{2}=\frac{6\pm \sqrt{-16}}{2}=\frac{6\pm 4i}{2}=3\pm 2i✓$$

元の $z=3-2i$ と $\bar{z}=3+2i$ が出てきた。

ここに重要な原理がある。

$$\boxed{\text{実数係数の 2 次方程式が虚数解を持つとき、その 2 解は必ず共役の組}}$$

虚数解は、必ずペアで現れる。 片方だけ、ということはありえない。理由はこの計算が示している — 共役どうしの和と積は実数だから、係数が実数になれるのだ。

この事実は、$3$ 次以上でも成り立つ。 実数係数の方程式が $2+i$ を解に持てば、$2-i$ も必ず解である。だから

• $3$ 次方程式(実数係数)は、必ず実数解を $1$ つ以上持つ(虚数解は $2$ 個ずつペアで現れるので、$3$ 個全部が虚数にはなれない)

共役という単純な操作が、方程式の解の構造を支配している。 $z+\bar{z}$ と $z\bar{z}$ を計算するこの問題は、その入り口に立っているのだ。