数学II / 複素数と方程式

2数を解とする2次方程式

★★ 標準解と係数の関係方程式の作成

問題

2次方程式 $x^{2} - 2 x + 5 = 0$ の2つの解を $α$ 、 $β$ とする。 $α + 1$ 、 $β + 1$ を2つの解とする2次方程式を1つ作れ。

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新しい $2$ 解の『和』と『積』さえ分かれば方程式は作れる。 $(α + 1) + (β + 1)$ と $(α + 1) (β + 1)$ を展開して、もとの和・積の言葉に直そう。

解答・解説

作りたい2数の「和」と「積」がわかれば、 $x^{2} - (和) x + (積) = 0$ で方程式ができる。もとの解と係数の関係を使って和・積を計算する。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 2数を解とする2次方程式は、 $x^{2} - (和) x + (積) = 0$ で作れる。だから必要な材料は、新しい2数の和と積だけだ。

$(α + 1) + (β + 1) = (α + β) + 2$ 、 $(α + 1) (β + 1) = α β + (α + β) + 1$ 。

もとの方程式の解と係数の関係( $α + β = 2$ 、 $α β = 5$ )を入れれば、和 $4$ ・積 $8$ 。方程式は $x^{2} - 4 x + 8 = 0$ だ。

公式2数

s

、

t

を解とする2次方程式は

x^{2} - (s + t) x + s t = 0

もとの方程式 $x^{2} - 2 x + 5 = 0$ から、解と係数の関係で

$α + β = 2, α β = 5$

新しい2解の和を計算する。

$(α + 1) + (β + 1) = α + β + 2 = 2 + 2 = 4$

新しい2解の積を計算する。

$(α + 1) (β + 1) = α β + α + β + 1 = 5 + 2 + 1 = 8$

和 $4$ 、積 $8$ なので、求める方程式は

$x^{2} - 4 x + 8 = 0$

発展 — 一歩先へ。 置きかえの向き( $+ 1$ ずらすのに $x - 1$ を代入)が2次関数の平行移動の規則と同じであることに気づいただろうか。方程式の解も、グラフの $x$ 切片も、同じ「点の集まり」だから、動かし方の文法が共通なのだ。

3次方程式でも解と係数の関係はあり( $α + β + γ$ 、 $α β + β γ + γ α$ 、 $α β γ$ の3点セット)、置きかえの技もそのまま通用する。2次で身につけた型が、高次の世界の標準装備になる。

答

$x^{2} - 4 x + 8 = 0$

「グラフの平行移動」の発想で、方程式ごとずらす一撃の道もある。

解を全部 $+ 1$ したいなら、方程式の $x$ を $x - 1$ に置きかえればよい(新しい $x$ が古い解より $1$ 大きい位置で $0$ になる、という理屈だ)。

$(x - 1)^{2} - 2 (x - 1) + 5 = 0$

展開して

$x^{2} - 4 x + 8 = 0$

和と積の計算をせずに、置きかえ1回で答えに着いた。

「解を $2$ 倍した方程式」なら $x$ を $\frac{x}{2}$ に、「解の逆数の方程式」なら $x$ を $\frac{1}{x}$ に置きかえる。解の変換を方程式の変数の置きかえで実現するこの技は、和と積の再計算が面倒な変換ほど強みを増す。