数学II / 複素数と方程式

2次方程式の虚数解

★★ 標準2次方程式虚数解

問題

2次方程式 $x^{2} - 4 x + 7 = 0$ を解け。

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解の公式で進めて、根号の中が負になったら $i$ の出番。虚数解は必ず共役のペアで現れるはずだから、答えの形の検算にも使える。

解答・解説

解の公式を使う。の中(判別式)が負になったら、負の数の平方根として $i$ を出す。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 手順は実数のときと同じ、解の公式だ。違いは1点だけ。の中(判別式)が負になったら、そこで止まらない。

$- 12 = 23 i$ と、 $i$ を使って開けばよい。

判別式が負でも「解なし」ではなく、虚数の解が2つある。複素数まで数の世界を広げたことで、2次方程式は必ず2つの解を持つようになった。

公式解の公式

x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

。判別式

D = b^{2} - 4 a c < 0

なら虚数解

$a = 1$ 、 $b = - 4$ 、 $c = 7$ 。判別式は

$D = (- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = - 12$

$D < 0$ なので虚数解。解の公式に入れる。

$x = \frac{4 \pm - 12}{2}$

$- 12 = 12 i = 23 i$ なので

$x = \frac{4 \pm 2 3 i}{2} = 2 \pm 3 i$

発展 — 一歩先へ。 「実数係数の方程式の虚数解は共役ペア」という事実は、この先の高次方程式で強力な武器になる。 $1 + i$ が解と分かった瞬間、 $1 - i$ も解と確定し、2次の因数が1つ手に入るからだ。

判別式の3分類(正・0・負)は、これで「異なる2実数解・重解・共役な2虚数解」という完全な分類になった。「解なし」という欄が消えたことが、複素数を導入した最大の収穫である。

答

$x = 2 \pm 3 i$

解の公式を経由せず、平方完成で直接解くこともできる。

$x^{2} - 4 x + 7 = 0 ⟹ (x - 2)^{2} = - 3$

「2乗すると $- 3$ になる数」は $\pm 3 i$ 。だから

$x - 2 = \pm 3 i ⟹ x = 2 \pm 3 i$

解の公式の暗記に頼らず、 $i$ の定義(2乗して負になる数)だけで完結する道だ。

答えの形にも注目したい。2つの解 $2 + 3 i$ と $2 - 3 i$ は共役のペアである。係数が実数の方程式では、虚数解は必ずこの「鏡写しのペア」で現れる。片方だけ出てくることはない。