共役解をもつ実数係数の方程式

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 実数係数の方程式は、虚数解を共役の組でもつ。だから $1+i$ が解なら $1-i$ も、$2i$ が解なら $-2i$ も解。

最小次数にするには、この $4$ つの解 $1\pm i,\pm 2i$ をちょうど解にもつ方程式を作る。

各共役ペアが $2$ 次因数を作る。$1\pm i$ から $(x-(1+i))(x-(1-i))=x^2-2x+2$、$\pm 2i$ から $(x-2i)(x+2i)=x^2+4$。積 $(x^2-2x+2)(x^2+4)=0$ が最小の $4$ 次方程式。

① 共役解を補う。 実数係数だから、$1+i$ の共役 $1-i$、$2i$ の共役 $-2i$ も解。よって解は $1\pm i,\pm 2i$ の $4$ つ(最小の次数は $4$)。

② ペアごとに $2$ 次式を作る。

• $1\pm i$:$(x-(1+i))(x-(1-i))=x^2-2x+2$(和 $2$、積 $(1+i)(1-i)=2$)。
• $\pm 2i$:$(x-2i)(x+2i)=x^2+4$。

③ 掛け合わせる。

$$(x^2-2x+2)(x^2+4)=x^4+4x^2-2x^3-8x+2x^2+8=x^4-2x^3+6x^2-8x+8$$

よって求める方程式は

$$x^4-2x^3+6x^2-8x+8=0$$

まとめ:実数係数 + 虚数解 → 共役も解、が出発点。共役ペアで実数係数の $2$ 次式を作り(和と積が実数)、掛け合わせて最小の方程式を組み立てる。解が $4$ つだから次数は $4$。

発展 — 一歩先へ。 実数係数の多項式は、必ず実係数の $1$ 次因数($x-r$)と $2$ 次因数($x^2+px+q$、判別式 $<0$)の積に分解できる(代数学の基本定理の実数版)。虚数解は共役ペアで現れ、各ペアが実係数の $2$ 次因数を作る。だから実係数多項式の虚数解の個数は必ず偶数だ。

別解

別解 — $2$ 次因数を「和と積」で作る(苦手な人向け)。 各共役ペアの $2$ 次因数を、解の和と積から組み立てる。

$1\pm i$: 和 $(1+i)+(1-i)=2$、積 $(1+i)(1-i)=1-i^2=2$。だから $x^2-(\text{和})x+(\text{積})=x^2-2x+2$。

$\pm 2i$: 和 $2i+(-2i)=0$、積 $(2i)(-2i)=-4i^2=4$。だから $x^2-0\cdot x+4=x^2+4$。

$2$ つの因数を掛ける。

$$(x^2-2x+2)(x^2+4)=x^4+4x^2-2x^3-8x+2x^2+8=x^4-2x^3+6x^2-8x+8.$$

共役ペアから直接 $2$ 次因数を書く本解と同じだが、「和と積」で組み立てると、複素数の掛け算を最小限にできる。実数係数の方程式は共役解をペアでもち、各ペアが実係数の $2$ 次因数になる — だから虚数解 $2$ 個で $4$ 次が必要だ。