1の5乗根に関する積の値

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $(1-\zeta )(1-{\zeta }^2)(1-{\zeta }^3)(1-{\zeta }^4)$ は「根を全部代入した積」の形だ。これは因数分解した多項式への代入で読むのが早い。

$x^5-1$ は、5つの5乗根を根にもつから $(x-1)(x-\zeta )(x-{\zeta }^2)(x-{\zeta }^3)(x-{\zeta }^4)$ と分解される。

求める積は、この分解から $(x-1)$ を除いた4因子に $x=1$ を入れたもの。つまり $\frac{x^5-1}{x-1}=x^4+x^3+x^2+x+1$ の $x=1$ での値である。

① 因数分解。 $1$ の $5$ 乗根は $x^5-1=0$ の解 $1,\zeta ,{\zeta }^2,{\zeta }^3,{\zeta }^4$。よって $$x^5-1=(x-1)(x-\zeta )(x-{\zeta }^2)(x-{\zeta }^3)(x-{\zeta }^4).$$ $(x-1)$ で割って $$(x-\zeta )(x-{\zeta }^2)(x-{\zeta }^3)(x-{\zeta }^4)=\frac{x^5-1}{x-1}=x^4+x^3+x^2+x+1.$$ ② $x=1$ を代入。 左辺は $(1-\zeta )(1-{\zeta }^2)(1-{\zeta }^3)(1-{\zeta }^4)$、右辺は $1+1+1+1+1=5$。よって $$(1-\zeta )(1-{\zeta }^2)(1-{\zeta }^3)(1-{\zeta }^4)=5.$$

まとめ 求める積は $x^4+x^3+x^2+x+1$ の $x=1$ での値 $=5$。$1$ の $5$ 乗根と因数分解の融合。積を多項式の値と見るのが核心。

発展 — 一歩先へ。 同じ計算は任意の $n$ で通り、1の原始 $n$ 乗根 $\zeta$ に対して ${\prod }_{k=1}^{n-1}(1-{\zeta }^k)=n$。距離で読めば「単位円に内接する正 $n$ 角形の1頂点から、残り全頂点への距離の積はちょうど $n$」。頂点が増えるほど近くの弦は短くなるのに、積は $n$ で増え続けるのが面白い。

別解

別解 — 「正五角形の弦の積」として測る(図形で味わうルート)。 $|1-{\zeta }^k|$ は、複素数平面で点 $1$ から点 ${\zeta }^k$ までの距離。つまり求める積は、単位円に内接する正五角形の1頂点から残り4頂点への距離の積だ。

弦の長さの公式で $|1-{\zeta }^k|=2\sin (36k{)}^{\circ }$。共役の対をまとめると $(1-\zeta )(1-{\zeta }^4)=|1-\zeta {|}^2$、$(1-{\zeta }^2)(1-{\zeta }^3)=|1-{\zeta }^2{|}^2$ で、積は

$$(2\sin 36^{\circ }{)}^2(2\sin 72^{\circ }{)}^2=(4\sin 36^{\circ }\sin 72^{\circ }{)}^2.$$

積和公式で $4\sin 36^{\circ }\sin 72^{\circ }=2(\cos 36^{\circ }-\cos 108^{\circ })=2(\cos 36^{\circ }+\cos 72^{\circ })$。$\cos 36^{\circ }=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$、$\cos 72^{\circ }=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$ を入れると $2\cdot \frac{2\sqrt{5}}{4}=\sqrt{5}$。

よって積は $(\sqrt{5}{)}^2=5$。「距離の積が頂点の数になる」— 多項式の計算(本解)が導いた答えの、図形での姿である。