z²=z̄ を満たす複素数(方程式の全解)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 共役 $\overline{z}$ が混ざった方程式は、ふつうの代数方程式ではない。いちばん素朴で確実なのは、$z=a+bi$ と成分に開く方法だ。

複素数の等式は「実部どうし・虚部どうしが等しい」。1本の複素数の式が、実数の連立2本に化ける。

虚部の式は $2ab=-b$。移項して $b(2a+1)=0$ と因数分解すれば、$b=0$ か $a=-\frac{1}{2}$ かの場合分けが自然に生まれる。$b$ で割ってはいけない($b=0$ の解を失う)。

① 成分で比較。 $z^2=\overline{z}$ より $$a^2-b^2=a(\text{実部}),2ab=-b(\text{虚部}).$$ ② 虚部を因数分解。 $2ab+b=0$ より $b(2a+1)=0$、よって $b=0$ または $a=-\frac{1}{2}$。

③ 場合分け。

• $b=0$:実部の式は $a^2=a$、$a=0,1$。$\Rightarrow z=0,1$。
• $a=-\frac{1}{2}$:実部の式は $\frac{1}{4}-b^2=-\frac{1}{2}$、$b^2=\frac{3}{4}$、$b=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$。$\Rightarrow z=-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$。

よって $z=0,1,-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$ の $4$ つ($\ne 0$ の $3$ つは $1$ の $3$ 乗根)。

まとめ 成分比較で $a^2-b^2=a,2ab=-b$、後者を $b(2a+1)=0$ と分解して場合分けし、$z=0,1,\omega ,{\omega }^2$ の $4$ 解。複素数(共役)と連立方程式の融合。共役は成分で、が定石。

発展 — 一歩先へ。 両辺に $z$ を掛けると $z^3=z\overline{z}=|z{|}^2$。$|z|=1$ の解では $z^3=1$、つまり $1,\omega ,{\omega }^2$ は1の3乗根そのものだ。一般に $z^n=\overline{z}$ の解は $z=0$ と「1の $(n+1)$ 乗根」の全部で、ちょうど $n+2$ 個になる。

別解

別解 — 極形式で「大きさ」と「角」に分ける(得意な人向けの高い視点)。 $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$($r\ge 0$)とおく。$z^2$ は大きさ $r^2$・偏角 $2\theta$、$\overline{z}$ は大きさ $r$・偏角 $-\theta$。

大きさを比べて $r^2=r$、つまり $r=0$ か $r=1$。$r=0$ は $z=0$ を与える。

$r=1$ のときは偏角を比べて $2\theta =-\theta +360^{\circ }\times k$、すなわち $3\theta =360^{\circ }\times k$。$\theta =0^{\circ },120^{\circ },240^{\circ }$ の3つで

$$z=1,z=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,z=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i.$$

合わせて4解。成分計算(本解)の場合分け($b=0$ か $a=-\frac{1}{2}$)が、極形式では「$r$ の方程式」と「$\theta$ の方程式」にきれいに分業される。$3\theta \equiv 0^{\circ }$ から「解は1の3乗根と $0$」という正体も見える。