虚数解をもつ3次方程式の係数決定

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 係数 $a,b$ が実数 — ここが最大のヒント。実数係数の方程式が虚数解 $1+i$ をもつなら、共役 $1-i$ も自動的に解。

$3$ 解のうち $2$ つが判明済み。残る実数解を $\gamma$ とおく。

この $3$ 次方程式は $x^2$ の係数が $0$。つまり $3$ 解の和が $0$ で、$(1+i)+(1-i)+\gamma =0$ から $\gamma =-2$。あとは解と係数の関係で $a,b$ を出す。

① 共役解と第 $3$ の解。 実数係数だから $1-i$ も解。$x^3+ax+b=0$ は $x^2$ の係数が $0$ なので、解の和は $0$。第 $3$ の解を $\gamma$(実数)とすると

$$(1+i)+(1-i)+\gamma =0⟹2+\gamma =0⟹\gamma =-2$$

② $a$ を求める。 $a$ は「$2$ つずつの積の和」。

$$a=(1+i)(1-i)+(1-i)(-2)+(-2)(1+i)=2+(-2+2i)+(-2-2i)=2-4=-2$$

③ $b$ を求める。 $3$ 解の積 $=-b$。

$$(1+i)(1-i)(-2)=2\cdot (-2)=-4=-b⟹b=4$$

よって $a=-2,b=4$、残りの解は $1-i$ と $-2$。

(検算:$x^3-2x+4$ に $x=1+i$ を入れると $(1+i{)}^3-2(1+i)+4=(-2+2i)-2-2i+4=0$。)

まとめ:実数係数 + $1$ つの虚数解 → 共役も解。$x^2$ の項がなければ解の和 $0$ で第 $3$ の実数解が即出る。$a,b$ は解と係数の関係で、$a=$ 積の和、$b=-$ 積。共役の積 $(1+i)(1-i)=2$ が計算をきれいにする。

発展 — 一歩先へ。 実係数 $3$ 次方程式は、必ず実数解を少なくとも $1$ つもつ(奇数次だから、グラフが必ず $x$ 軸を横切る)。虚数解があれば共役ペアで、残り $1$ つは実数。この問題の $\gamma =-2$ がその実数解。$3$ 次方程式の解は「実数 $3$ 個」か「実数 $1$ 個 + 共役虚数 $2$ 個」のどちらかだ。

別解

別解 — 共役 $2$ 次式で割り算する(計算で押し切るルート)。 $1\pm i$ を解にもつ実係数の $2$ 次式は $(x-(1+i))(x-(1-i))=x^2-2x+2$。$x^3+ax+b$ がこの $2$ 次式で割り切れる条件から $a,b$ を出す。

$x^3+ax+b$ を $x^2-2x+2$ で割る(組立除法または筆算)。商は $x+2$、余りは $(a+2)x+(b-4)$。

$$x^3+ax+b=(x^2-2x+2)(x+2)+(a+2)x+(b-4).$$

割り切れるには余りが $0$: $a+2=0$、$b-4=0$。すなわち $a=-2$、$b=4$。商 $x+2=0$ から残りの実数解 $x=-2$ も同時に出る。

解と係数の関係で $\gamma =-2$ を出す本解に対し、共役 $2$ 次式で割ると、商 $x+2$ が残りの解を、余り $=0$ が $a,b$ を一度に与える。実係数の $3$ 次方程式が虚数解をもつと、必ず共役とペアの $2$ 次因数と実数解 $1$ つに分かれる。