数学II / 複素数と方程式

複素数の計算(累乗)

★★ 標準複素数の四則i の累乗

問題

次を計算せよ。

(1) $(2 + 3 i)^{2}$

(2) $(1 - i)^{3}$

(3) $(3 + 2 i) (3 - 2 i)$

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$i$ を文字と思って展開し、 $i^{2}$ だけ実数に置きかえる。(3)は展開する前に形をよく見ると、計算がほとんど要らないことに気づく。

解答・解説

$i^{2} = - 1$ さえ守れば、あとは文字式の展開と同じだ。展開してから、 $i^{2}$ が出たところを $- 1$ に置きかえて整理する。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 複素数の計算は、新しい規則を1つだけ足した文字式の計算だ。その規則が $i^{2} = - 1$ 。

ふつうに展開して、 $i^{2}$ が現れた瞬間に $- 1$ へ置きかえる。それだけである。

最後は「実部+虚部 $i$ 」の形に整理して仕上げる。 $i$ の入った項と入っていない項を、きちんと分けて書く。

公式

i^{2} = - 1

。

(a + bi)^{2} = (a^{2} - b^{2}) + 2 ab i

、

(a + bi) (a - bi) = a^{2} + b^{2}

(1) ふつうに2乗を展開する。

$(2 + 3 i)^{2} = 4 + 12 i + 9 i^{2}$

$i^{2} = - 1$ なので $9 i^{2} = - 9$ 。

$= 4 + 12 i - 9 = - 5 + 12 i$

(2) まず2乗、次に1回かける。

$(1 - i)^{2} = 1 - 2 i + i^{2} = 1 - 2 i - 1 = - 2 i$

これに $(1 - i)$ をかける。

$(1 - i)^{3} = (- 2 i) (1 - i) = - 2 i + 2 i^{2} = - 2 i - 2 = - 2 - 2 i$

(3) 和と差の積なので、まん中の項が消える。

$(3 + 2 i) (3 - 2 i) = 3^{2} - (2 i)^{2} = 9 - 4 i^{2} = 9 + 4 = 13$

共役な複素数どうしの積は、いつも実数(ここでは $13$ )になる。

発展 — 一歩先へ。 $(1 - i)^{2} = - 2 i$ という結果は、意味を持っている。数学Cの複素数平面で学ぶと、「2乗すると偏角が2倍になる」ため、 $4 5^{\circ}$ 方向の $1 - i$ が2乗で真下( $- 9 0^{\circ}$ 方向)を向くのだ。

共役の積 $a^{2} + b^{2}$ は、複素数の「大きさの2乗」でもある。計算規則として覚えた式が、あとで図形の言葉(距離・角度)に化ける。その伏線として、 $i$ の計算に慣れておこう。

答

(1) $- 5 + 12 i$ (2) $- 2 - 2 i$ (3) $13$

形を見てから手を動かすと、展開が省ける小問がある。

(3)は $(3 + 2 i) (3 - 2 i)$ 。符号だけ違う共役どうしの積だ。和と差の積の公式で

$(3 + 2 i) (3 - 2 i) = 3^{2} - (2 i)^{2} = 9 - 4 i^{2} = 9 + 4 = 13$

一般に $(a + bi) (a - bi) = a^{2} + b^{2}$ 。共役の積は必ず「実部の2乗+虚部の2乗」の実数になる。次の割り算の問題で分母を実数化できるのは、この事実のおかげだ。

(2)の3乗も、2乗を部品にすると軽い。 $(1 - i)^{2} = 1 - 2 i + i^{2} = - 2 i$ を先に作り

$(1 - i)^{3} = (- 2 i) (1 - i) = - 2 i + 2 i^{2} = - 2 - 2 i$

3乗の展開公式を丸ごと回すより、2乗の結果 $- 2 i$ という小さい部品を経由するほうが速くて安全だ。