負の数の平方根

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\sqrt{-a}$($a>0$)を見たら、計算の前に $\sqrt{a}i$ へ直す。これが鉄の掟だ。

$\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ という規則は、中身が負の数では使えない。直さずに中身どうしを掛けると、符号が逆の誤答に落ちる。

$i$ に直してしまえば、あとは $i^2=-1$ の普通の計算。「まず $i$ をくくり出す」を反射にする。

(1) それぞれ $i$ を出してからかける。

$$\sqrt{-2}\times \sqrt{-3}=\sqrt{2}i\times \sqrt{3}i=\sqrt{6}{i}^2=-\sqrt{6}$$

もし先に中どうしをかけて $\sqrt{6}$ とすると、符号がちがってしまう。負の数の平方根は、必ず先に $i$ を出す。

(2) こちらも先に $i$ を出す。

$$\frac{\sqrt{-27}}{\sqrt{-3}}=\frac{\sqrt{27}i}{\sqrt{3}i}=\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}=\sqrt{9}=3$$

$i$ どうしが約分され、中身だけの割り算になる。

発展 — 一歩先へ。 「便利な規則には適用条件がある」という教訓は、複素数に限らない。$\sqrt{a^2}=a$(正しくは $|a|$)、$\log MN=\log M+\log N$(真数が正のとき)など、条件を忘れた瞬間に事故る規則は数学中にある。

なぜ負の中身で壊れるのか。根本の理由は、複素数の世界では平方根が2つあって「どちらを  ​ と呼ぶか」の首尾一貫した選び方が難しくなるからだ。数学Cで偏角を学ぶと、この事情がすっきり言葉にできる。

別解

「どの規則が、どこまで使えるか」を整理しておくと、この問題の意地悪さが見通せる。

$\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ が保証されるのは、$a,b$ がともに $0$ 以上のときだけだ。

• (1) 負 × 負: 規則の適用外。$i$ に直すと $(\sqrt{2}i)(\sqrt{3}i)=\sqrt{6}{i}^2=-\sqrt{6}$。中身を掛けた $\sqrt{6}$ とは符号が逆になる。
• (2) 負 ÷ 負: これも適用外だが、$i$ に直すと $\frac{3\sqrt{3}i}{\sqrt{3}i}$ で $i$ が約分され、結果 $3$ は中身を割った $\sqrt{9}=3$ と偶然一致する。

「(2)は中身の計算でも合うから」と規則を信じると、(1)で裏切られる。一致するかどうかが場合による以上、規則の外では常に $i$ 経由で計算する、が唯一の安全策である。