解と係数の関係

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x^2-5x+8=0$ の判別式は $25-32=-7<0$ — 解は虚数だ。

しかし、解を求める必要はない。 聞かれているのは和と積であり、それは係数から直接読める。

$$a{x}^2+bx+c=0\text{の 2 解 }\alpha ,\beta \text{について}$$

$$\alpha +\beta =-\frac{b}{a},\alpha \beta =\frac{c}{a}$$

今回は $a=1$、$b=-5$、$c=8$。

$$\alpha +\beta =-\frac{-5}{1}=5,\alpha \beta =\frac{8}{1}=8$$

和の符号に注意。 $b=-5$ なので $-\frac{b}{a}=+5$ — マイナスが $2$ つで、プラスになる。

解が虚数でも、和と積は実数になる(共役のペアだから)。解を求めずに答えが出る — これが解と係数の関係の値打ちだ。

$a=1$、$b=-5$、$c=8$ なので

$$\alpha +\beta =-\frac{-5}{1}=5,\alpha \beta =\frac{8}{1}=8$$

(解を実際に求めなくても、係数から和と積が即座にわかる。)

発展 — 一歩先へ。 解と係数の関係は、逆向きにも使える。

「和が $5$、積が $8$ である $2$ 数を求めよ」 と言われたら、その $2$ 数は

$$x^2-5x+8=0$$

の解である。「和と積が分かれば、$2$ 数は決まる」 — 方程式を作って解けばよい。

$$x^2-(\text{和})x+(\text{積})=0$$

この $1$ 行が、驚くほど広く使える。

• 連立方程式 $\{\begin{array}{l}x+y=5\\ xy=8\end{array}$ を解くとき、$2$ 次方程式に化ける
• $2$ 数の値を求める文章題(面積と周の長さが分かっている長方形の辺、など)
• 数列の隣接 $2$ 項の関係から一般項を出すとき

そして、この問題では「和 $5$、積 $8$」を満たす実数は存在しない(判別式が負)。$2$ 数は虚数になる。

「和が $5$、積が $8$ の $2$ つの実数」を探して、$1+4=5$、$1\times 4=4$、$2+3=5$、$2\times 3=6$ $\dots$ といくら試しても見つからない。積は最大でも ${\left(\frac{5}{2}\right)}^2=6.25$ にしかならないからだ(相加相乗の関係!)。$8$ には届かない。

「和が一定なら、積には上限がある」 — 相加平均・相乗平均の関係が、ここで判別式と握手する。

$$\frac{\alpha +\beta }{2}\geqq \sqrt{\alpha \beta }⟹{\left(\frac{5}{2}\right)}^2\geqq 8?\text{— 成り立たない}$$

だから実数解はない。 判別式が負であることの、別の説明になっている。

$2$ つの定理が、同じ事実を別の言葉で語る。 数学の道具は、思わぬところでつながっている。

別解

本当に解いてみて、和と積を計算してみよう。 公式を疑ってかかるのは、よい態度だ。そして「なぜ係数から和と積が読めるのか」の理由も見る。

実際に解く。

$$x=\frac{5\pm \sqrt{25-32}}{2}=\frac{5\pm \sqrt{-7}}{2}=\frac{5\pm \sqrt{7}i}{2}$$

$$\alpha =\frac{5+\sqrt{7}i}{2},\beta =\frac{5-\sqrt{7}i}{2}$$

和を計算する。

$$\alpha +\beta =\frac{5+\sqrt{7}i}{2}+\frac{5-\sqrt{7}i}{2}=\frac{10}{2}=5✓$$

虚部が打ち消し合った。

積を計算する。 和と差の積の形だ。

$$\alpha \beta =\frac{(5+\sqrt{7}i)(5-\sqrt{7}i)}{4}=\frac{25-7i^2}{4}=\frac{25+7}{4}=\frac{32}{4}=8✓$$

公式と完全に一致した。 虚数解でも、和と積はちゃんと実数になる。

では、なぜ係数から和と積が分かるのか。

$2$ 解が $\alpha$、$\beta$ なら、方程式は因数分解できる。

$$x^2-5x+8=(x-\alpha )(x-\beta )$$

右辺を展開する。

$$(x-\alpha )(x-\beta )=x^2-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta$$

左辺と係数を比べる。

$$-(\alpha +\beta )=-5⟹\alpha +\beta =5$$

$$\alpha \beta =8$$

恒等式の係数比較 — それが解と係数の関係の正体だった。難しい定理ではなく、因数分解を展開しただけである。

この見方だと、$3$ 次でも同じように作れる。 $3$ 次方程式 $x^3+p{x}^2+qx+r=0$ の $3$ 解を $\alpha$、$\beta$、$\gamma$ とすると

$$x^3+p{x}^2+qx+r=(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )$$

展開して比べれば

$$\alpha +\beta +\gamma =-p,\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =q,\alpha \beta \gamma =-r$$

符号が交互($-$、$+$、$-$)になるのがポイントだ。$n$ 次でも同じ規則が続く(根と係数の関係)。

係数を見れば、解の"素性"が分かる。 解そのものは複雑でも(今回は $\frac{5\pm \sqrt{7}i}{2}$ という厄介な形)、和は $5$、積は $8$ とすっきりしている。

「個々の解」より「解の対称式」のほうが単純 — この事実が、次の問題(対称式の計算)につながっていく。