解と係数と対称式

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\alpha$、$\beta$ を実際に求めると $\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$ — これを $2$ 乗して足すのは、かなり面倒だ。

しかし、${\alpha }^2+{\beta }^2$ は対称式である。 $\alpha$ と $\beta$ を入れかえても、式の形が変わらない。

対称式は、必ず「和」と「積」だけで表せる。 これが決定的な事実だ。

$${\alpha }^2+{\beta }^2=(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta$$

($\alpha +\beta {)}^2$ を展開すると ${\alpha }^2+2\alpha \beta +{\beta }^2$ — 余分な $2\alpha \beta$ を引けばよい。

解と係数の関係から $\alpha +\beta =3$、$\alpha \beta =1$。

$${\alpha }^2+{\beta }^2=3^2-2\times 1=9-2=7$$

解を求めずに答えが出た。 無理数の $2$ 乗を計算する必要は、まったくない。

$x^2-3x+1=0$ より $\alpha +\beta =3$、$\alpha \beta =1$。

${\alpha }^2+{\beta }^2$ は、和と積で表せる対称式だ。

$${\alpha }^2+{\beta }^2=(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta =3^2-2\times 1=9-2=7$$

(解を求めずに、和と積だけで対称式の値が出る。数と式で学んだ対称式がここでも生きる。)

発展 — 一歩先へ。 対称式のべき乗和(${\alpha }^n+{\beta }^n$)には、漸化式という強力な計算法がある。

$s_n={\alpha }^n+{\beta }^n$ と置く。$\alpha$、$\beta$ は $x^2-3x+1=0$ の解だから

$${\alpha }^2=3\alpha -1,{\beta }^2=3\beta -1$$

両辺に ${\alpha }^{n-2}$、${\beta }^{n-2}$ を掛けて足すと

$$s_n=3s_{n-1}-s_{n-2}$$

$3$ 項間漸化式が出た。 $s_0=2$、$s_1=3$ から始めて

$$s_2=3(3)-2=7✓$$ $$s_3=3(7)-3=18✓$$ $$s_4=3(18)-7=47$$ $$s_5=3(47)-18=123$$

${\alpha }^{10}+{\beta }^{10}$ でさえ、足し算と掛け算だけで出せる。 展開公式を覚える必要はない。

しかも、驚くべきことに気づく。 $\alpha$、$\beta$ は無理数($\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$)なのに、$s_n$ はすべて整数($2,3,7,18,47,123,\dots$)だ。

漸化式が整数係数だから、整数から始めれば整数のままである。無理数の $10$ 乗の和が整数になる — 個々の項の $\sqrt{5}$ が、必ず打ち消し合っているのだ。

ちなみに、$\alpha =\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ は黄金比 $\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ の $2$ 乗(${\varphi }^2=\varphi +1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$)である。だから $s_n$ の列 $2,3,7,18,47,\dots$ は、フィボナッチ数列と兄弟関係にある(リュカ数列の偶数番目)。

$2$ 次方程式の解の対称式 → 漸化式 → フィボナッチ — 単元の壁を越えて、数学はつながっている。

別解

本当に解いて、力ずくで計算してみる。 手間を体感すれば、対称式の技のありがたみが身にしみる。そして、この技がどこまで伸びるかを見よう。

力ずくルート: 実際に解く。

$$x=\frac{3\pm \sqrt{9-4}}{2}=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$$

$$\alpha =\frac{3+\sqrt{5}}{2},\beta =\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

$2$ 乗する。

$${\alpha }^2=\frac{(3+\sqrt{5}{)}^2}{4}=\frac{9+6\sqrt{5}+5}{4}=\frac{14+6\sqrt{5}}{4}$$

$${\beta }^2=\frac{(3-\sqrt{5}{)}^2}{4}=\frac{9-6\sqrt{5}+5}{4}=\frac{14-6\sqrt{5}}{4}$$

足す。

$${\alpha }^2+{\beta }^2=\frac{(14+6\sqrt{5})+(14-6\sqrt{5})}{4}=\frac{28}{4}=7✓$$

同じ答え。しかし手間は $5$ 倍だ。$\sqrt{5}$ の項が最後にきれいに消えるのを見て、「最初から消えると分かっていたのに」と思わないだろうか。

対称式の技は、この"消えることが分かっている計算"を、丸ごと省略する。

そして、この技はどこまでも伸びる。

$3$ 乗の和も出せる。

$${\alpha }^3+{\beta }^3=(\alpha +\beta {)}^3-3\alpha \beta (\alpha +\beta )=27-3\times 1\times 3=18$$

逆数の和も出せる。

$$\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }=\frac{\alpha +\beta }{\alpha \beta }=\frac{3}{1}=3$$

差の $2$ 乗も出せる。

$$(\alpha -\beta {)}^2=(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta =9-4=5$$

(これは判別式そのものだ! $D=b^2-4ac=5$ ✓ — 判別式は「$2$ 解の差の $2$ 乗」だった。だから $D=0$ なら $\alpha =\beta$、つまり重解になる。)

すべて、和 $3$ と積 $1$ だけから出ている。 解の値($\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$)は $1$ 度も使っていない。

これが「対称式の基本定理」の力である。

$$\boxed{\text{α、β の対称式は、すべて (α+β) と αβ で表せる}}$$

個々の解がどんなに汚くても(無理数でも虚数でも)、対称式なら必ずきれいな値になる。 なぜなら、和と積は係数から読めて、係数は最初からきれいな数だからだ。

この単元でやっていることの核心は、こういうことだ。

「$1$ つ $1$ つの解を追いかけるより、解の"全体"が持つ性質を見るほうが、はるかに簡単なことがある。」

$\alpha$ と $\beta$ を個別に見れば $\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$ という厄介者だが、$2$ つセットで見れば「和 $3$、積 $1$」という美しい素顔を見せる — 見方を変えると、難しさが消える。