解と係数の関係の応用

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 見た目は分数と2乗の差だが、どちらも $\alpha$ と $\beta$ を入れかえて不変、つまり対称式だ。

方針は一本道になる。解と係数の関係で $\alpha +\beta =5$、$\alpha \beta =3$ を出し、対称式を和と積で書き直す。

(1)は通分して $\frac{{\alpha }^2+{\beta }^2}{\alpha \beta }$。(2)は $(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta$。部品に落とせば代入だけで終わる。

(1) 通分する。

$$\frac{\beta }{\alpha }+\frac{\alpha }{\beta }=\frac{{\alpha }^2+{\beta }^2}{\alpha \beta }$$

分子は ${\alpha }^2+{\beta }^2=(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta =25-6=19$。分母は $\alpha \beta =3$。

$$=\frac{19}{3}$$

(2)

$$(\alpha -\beta {)}^2=5^2-4\times 3=25-12=13$$

発展 — 一歩先へ。 対称式でない式(たとえば ${\alpha }^2\beta$ 単独や $\alpha -\beta$)を問われたら、和と積だけでは決まらない。$(\alpha -\beta {)}^2=13$ から $\alpha -\beta =\pm \sqrt{13}$ と2通り残るのがその現れで、どちらを $\alpha$ と呼ぶかの自由が消えないからだ。

「対称式は和と積で書ける」の裏の「非対称式は書き切れない」まで理解すると、問題の設計(なぜ2乗で聞かれるのか)が見えるようになる。

別解

(2)の $(\alpha -\beta {)}^2$ には、判別式との直結という種明かしがある。

$x^2$ の係数が $1$ の2次方程式では、解の公式から $\alpha -\beta =\frac{\sqrt{D}}{1}$(順序の取り方で符号は変わるが、2乗すれば消える)。つまり

$$(\alpha -\beta {)}^2=D=(-5{)}^2-4\cdot 3=13$$

判別式を読むだけで、展開の計算なしに答えが出る。

$(\alpha -\beta {)}^2$ は「解の間隔の2乗」だ。$D>0$ なら間隔は実の長さ、$D=0$ なら間隔ゼロ(重解)、$D<0$ なら2乗が負(虚数の間隔)。判別式の3分類が、解の間隔の言葉で読み直せる。公式 $(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta$ との一致は、恒等式 $D=b^2-4ac$ の別の顔である。