実数係数方程式の虚数解と共役

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 係数 $a,b$ が実数 — ここが最大のヒントだ。実数係数の方程式が虚数解 $1+i$ をもつなら、その共役 $1-i$ も自動的に解になる。

つまり3つの解のうち2つが判明済み。残る1つを $r$ とおけば、解と係数の関係で全部つながる。

この方程式は $x^2$ の係数が $0$。つまり3解の和が $0$ で、$r$ は即座に決まる。あとは残りの解と係数の関係に流し込むだけだ。

① 共役解と第 $3$ 解。 実数係数だから $1-i$ も解。第 $3$ の実数解を $r$ とする。$x^2$ の係数が $0$ より $$(1+i)+(1-i)+r=0⟹2+r=0⟹r=-2.$$ ② $a$ を求める。 $a$ は「$2$ つずつの積の和」: $$a=(1+i)(1-i)+(1+i)r+(1-i)r=2+r\{(1+i)+(1-i)\}=2+(-2)\cdot 2=-2.$$ ③ $b$ を求める。 $b=-(\text{3 解の積})=-(1+i)(1-i)r=-2\cdot (-2)=4$。

よって $a=-2,b=4$、残りの実数解は $x=-2$。(検算:$x^3-2x+4$ に $x=1+i$ を入れると $0$。)

まとめ 共役 $1-i$ も解、和 $=0$ から $r=-2$、解と係数で $a=-2,b=4$。共役解の性質と解と係数の融合。実数係数 → 共役も解、が出発点。

発展 — 一歩先へ。 「実数係数なら共役も解」の証明は、共役が和と積を保つ($\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$、$\overline{zw}=\overline{z}\overline{w}$)ことから一行で出る。係数に虚数が混じると崩れることにも注意(たとえば $x^2-i=0$ の2解は互いに共役でない)。「係数が実数」は見た目以上に強い対称性なのだ。

別解

別解 — 共役ペアの2次式で割り算する(計算で押し切るルート)。 $1\pm i$ を2解にもつ実数係数の2次式は

$$(x-1-i)(x-1+i)=(x-1{)}^2+1=x^2-2x+2.$$

$x^3+ax+b$ が $1+i$(と自動的に $1-i$)を解にもつ条件は、この2次式で割り切れることだ。実際に割ると、商 $x+2$、余り $(a+2)x+(b-4)$。

余りが $0$ だから $a=-2$、$b=4$。商 $x+2=0$ から残りの実数解 $x=-2$ も同時に出る。

解と係数(本解)は暗算向き、割り算はどんな次数でも通じる力持ち。両方使えると安心だ。