数学II / 複素数と方程式

3つの解の差積の平方

最難関編解と係数の関係次数下げ

問題

3次方程式 $x^{3} - 3 x + 1 = 0$ の3つの解を $α, β, γ$ とするとき、

$(α - β)^{2} (β - γ)^{2} (γ - α)^{2}$

の値を求めよ。

ヒントを見る

$(β - γ)^{2} = (β + γ)^{2} - 4 β γ$ 。和が0であることを使うと、 $β + γ$ も $β γ$ も $α$ で書けてしまう。各因子が1文字ずつの式になったら、積はどう計算するか。

解答・解説

方針

解の対称式だから解と係数の関係で計算できるが、正面から展開すると手に負えない。 $α + β + γ = 0$ を使って $(β - γ)^{2}$ を $α$ だけの式に直す(2解の和と積を残りの1解で表す)と、3因子の積が「多項式の値の積」に翻訳される。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 求める量は解の対称式だから、解と係数の関係だけで必ず届く。問題は経路だ。6次の対称式を力ずくで展開するのは無謀である。

急所は $α + β + γ = 0$ 。これで $β + γ = - α$ 、 $β γ = \frac{α β γ}{α} = - \frac{1}{α}$ と、2解の情報が残り1解だけで書ける。

すると $(β - γ)^{2}$ が $α$ の式、 $(γ - α)^{2}$ が $β$ の式、…と1文字ずつに分かれる。3つの積は「同じ式に3解を代入した値の積」— 解と係数で機械的に計算できる形になる。

公式解と係数:

α + β + γ = 0, α β + β γ + γ α = - 3, α β γ = - 1

。

(β - γ)^{2} = (β + γ)^{2} - 4 β γ

① 各因子を1文字の式に直す。 $x^{3} - 3 x + 1$ は $x = 0$ で値1なので $α, β, γ \neq = 0$ 。 $β + γ = - α$ 、 $β γ = - \frac{1}{α}$ だから

$(β - γ)^{2} = (β + γ)^{2} - 4 β γ = α^{2} + \frac{4}{α} = \frac{α ^{3} + 4}{α}$

ここで $α^{3} = 3 α - 1$ (方程式による次数下げ)を使うと

$(β - γ)^{2} = \frac{3 α + 3}{α} = \frac{3 ( α + 1 )}{α}$

② 3因子を掛ける。 同様に $(γ - α)^{2} = \frac{3 ( β + 1 )}{β}$ 、 $(α - β)^{2} = \frac{3 ( γ + 1 )}{γ}$ 。よって

$(α - β)^{2} (β - γ)^{2} (γ - α)^{2} = \frac{27 ( α + 1 ) ( β + 1 ) ( γ + 1 )}{α β γ}$

③ 対称式の値を入れる。 展開して

$(α + 1) (β + 1) (γ + 1) = α β γ + (α β + β γ + γ α) + (α + β + γ) + 1 = - 1 - 3 + 0 + 1 = - 3$

$α β γ = - 1$ だから

$\frac{27 \times ( - 3 )}{- 1} = 81$

まとめ: 「和が0」の3次では、2解の対称式を残り1解に押しつけられる。これが差積の平方を計算可能にする急所だ。この量は解の重なり具合を測る量(判別式)で、正の値81は「3解がすべて相異なる実数」であることも同時に教えてくれる。

発展 — 一歩先へ。 一般に $x^{3} + p x + q$ の判別式は $- 4 p^{3} - 27 q^{2}$ で、本問は $- 4 (- 27) - 27 = 81$ 。さらにこの方程式、実は $4 0^{\circ} = 12 0^{\circ} \div 3$ の角の三等分と同じ式で、解を根号だけで書くことができない(三角関数が要る)ことで有名な3次方程式でもある。

答

$81$

別解

解を三倍角で書き下ろす(解の正体を見るルート)。 この方程式の解は、三角関数で明示できる。 $x = 2 cos θ$ とおくと、三倍角の公式から

$x^{3} - 3 x = 8 cos^{3} θ - 6 cos θ = 2 cos 3 θ$

なので、方程式 $x^{3} - 3 x + 1 = 0$ は $cos 3 θ = - \frac{1}{2}$ に化ける。 $3 θ = 12 0^{\circ}, 24 0^{\circ}, 48 0^{\circ}$ から

$α = 2 cos 4 0^{\circ}, β = 2 cos 16 0^{\circ}, γ = 2 cos 28 0^{\circ} (= 2 cos 8 0^{\circ})$

の3つが解だ( $∣ x ∣ \leq 2$ の範囲に3実解が全部いたことになる)。

この表示で差積の平方を数値計算すると、 $81.000 \dots$ ときっかり整数に着地する。無理数の3解から作った量が整数になるのは、対称式だから(本解の計算がその証明)。解の正体(三角表示)と、対称式の計算(本解)——2つの顔を突き合わせると、この問題の景色が立体になる。

ポイント

$β + γ = - α$ 、 $β γ = - \frac{1}{α}$ で1文字化。
次数下げで $(β - γ)^{2} = \frac{3 ( α + 1 )}{α}$ 。
$(α + 1) (β + 1) (γ + 1) = - 3$ から積は $81$ 。

よくある間違い

6次の対称式を基本対称式で正面展開しようとして挫折する。 $α + β + γ = 0$ による1文字化が入り口。
$β γ = - \frac{1}{α}$ の符号を誤る。 $α β γ = - 1$ (定数項の符号に注意)から出す。
$(α + 1) (β + 1) (γ + 1)$ の展開で対称式の符号を落とす。4項(積・2次・1次・定数)を順に書く。