複2次式の因数分解

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x^4$ と $x^2$ だけの複2次式。$x^2$ をひとかたまり($t$)と見れば、$t^2-5t+4$ というただの2次式だ。

$(t-1)(t-4)$ と分解して、$t$ を戻すと $(x^2-1)(x^2-4)$。

ここで終わってはいけない。それぞれがまだ和と差の積に割れる。「これ以上分解できるか」の最終チェックまでが因数分解である。

$x^2=t$ とおくと

$$x^4-5x^2+4=t^2-5t+4=(t-1)(t-4)$$

$t$ を $x^2$ に戻す。

$$=(x^2-1)(x^2-4)$$

さらに、それぞれ和と差の積で分解できる。

$$=(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$$

発展 — 一歩先へ。 この式が1次式4つまで完全に割れたのは、根 $\pm 1,\pm 2$ がすべて実数(しかも整数)だったからだ。$x^4+3x^2+4$ のように置きかえ先の2次式が分解できない型では、「平方の差を作る」という別の突破口が要る(数Iの因数分解で学んだ技だ)。

「どんな整式も、複素数の範囲なら1次式の積まで必ず分解できる」— これが代数学の基本定理で、次の高次方程式の問題(虚数解まで数える)の理論的な背景になっている。

別解

因数定理で「根を探して剥がす」逐次ルートでも分解できる。

定数項 $4$ の約数 $\pm 1,\pm 2,\pm 4$ を候補に代入していく。$P(1)=1-5+4=0$。当たりだ。

$(x-1)$ で割ると商は $x^3+x^2-4x-4$。この商にまた候補を入れると $x=-1$ で $0$。割って $x^2-4$。

これは和と差の積で $(x+2)(x-2)$。合わせて

$$(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$$

置きかえルートと同じ着地だ。複2次と気づけなくても、因数定理の総当たりは必ず動く保険になる。逆に、複2次の形に気づけたときの置きかえルートの速さ(候補代入が不要)も、比べてみて初めて実感できる。