複素数の除法(分母の実数化)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 分母に $i$ が残っていると「計算した」ことにならない。分母を実数にするのが目標だ。

手は $1$ つ。分母の共役複素数を、分子と分母の両方に掛ける。

$$\frac{2+i}{1-i}=\frac{(2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}$$

なぜ共役を掛けるのか。 分母がこうなるからだ。

$$(1-i)(1+i)=1-i^2=1-(-1)=2$$

$i$ が消えて、実数 $2$ になった。 和と差の積 $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ の形で、$i^2=-1$ が効いている。

$$1-i^2=1+1=2$$

$1-1=0$ としてはいけない。 $i^2$ は $-1$ なので、引くと足し算になる。

分子は普通に展開して $(2+i)(1+i)=2+2i+i+i^2=1+3i$。

$$\frac{1+3i}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i$$

分母 $1-i$ の共役 $1+i$ を、分母・分子にかける。

$$\frac{2+i}{1-i}=\frac{(2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{2+2i+i+i^2}{1-i^2}=\frac{2+3i-1}{2}=\frac{1+3i}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i$$

発展 — 一歩先へ。 「割り算ができる」ということは、実は当たり前ではない。

複素数の世界では、$0$ 以外のどんな数でも割ることができる。$z\ne 0$ なら

$$\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{z\bar{z}}=\frac{\bar{z}}{|z{|}^2}$$

と、必ず逆数が作れるからだ($|z{|}^2$ は正の実数なので、割れる)。

この性質を持つ数の世界を「体(たい)」という。 有理数、実数、複素数は、どれも体だ。

では、$3$ 次元の数(空間ベクトルのようなもの)で、掛け算と割り算ができる世界は作れるか?

答えは 「ノー」。$3$ 次元では、うまい掛け算が定義できない。しかし $4$ 次元なら可能で、それを四元数という($1843$ 年、ハミルトンが発見した)。ただし、掛け算の順序を入れかえると答えが変わる($ab\ne ba$)という代償を払う。

$8$ 次元にも「八元数」があるが、今度は結合法則($(ab)c=a(bc)$)まで壊れる。そして $16$ 次元以上では、もう何も作れないことが証明されている。

掛け算と割り算ができる数の世界は、$1$、$2$、$4$、$8$ 次元しかない。

$2$ 次元(複素数)は、性質を何も失わずに済む、最後の楽園なのだ。だからこそ複素数は、これほど美しく、これほど広く使われる。

$\frac{2+i}{1-i}$ という単純な割り算ができること — それ自体が、数学の奇跡の一部である。

別解

この計算は、中学で習った「分母の有理化」とまったく同じ構造をしている。そう気づくと、共役を掛ける理由が腑に落ちる。そして掛け戻しの検算を習慣にしたい。

有理化との対応を見る。

まったく同じである。「$2$ 乗すると、目障りなものが消える」— これが共役を掛ける理由だ。

$\sqrt{2}$ を消したいなら $(\sqrt{2}{)}^2=2$ を使う。$i$ を消したいなら $i^2=-1$ を使う。どちらも「和と差の積」で $2$ 乗を作り出している。

唯一の違いは符号。 $1-(\sqrt{2}{)}^2=1-2=-1$ に対し、$1-i^2=1+1=2$。$i^2$ が負なので、引くと増える — この一点だけ気をつければよい。

そして検算。答えに分母を掛け戻す。

$$\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i\right)(1-i)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i+\frac{3}{2}i-\frac{3}{2}{i}^2$$

$$=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}+\left(-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\right)i=2+i✓$$

元の分子 $2+i$ に戻った。 割り算をしたら掛け戻す — 分数の計算の鉄則である。

絶対値でも検算できる。 割り算では絶対値も割り算される。

$$\left|\frac{2+i}{1-i}\right|=\frac{|2+i|}{|1-i|}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{5}{2}}$$

答えの絶対値は $\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{10}{4}}=\sqrt{\frac{5}{2}}$ ✓

一致した。

もっと高い視点から。 数Cで複素数平面を学ぶと、複素数の割り算は「絶対値を割り、偏角を引く」操作だと分かる。

$$\frac{z_1}{z_2}:\text{距離は }\frac{|z_1|}{|z_2|},\text{角度は }\arg z_1-\arg z_2$$

掛け算は回転と拡大、割り算は逆回転と縮小。 共役を掛けて分母を実数化する計算は、この幾何的な意味の「代数的な影」なのだ。

$2$ つの見方 — 代数(共役を掛ける)と幾何(回転と拡大) — を持つと、複素数がぐっと身近になる。