2次方程式の複素数解

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 まず判別式で、解の様子を確認する。

$$D=(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot 13=16-52=-36<0$$

負だから、実数解はない。 しかし複素数の範囲なら、必ず解ける。

$$x=\frac{4\pm \sqrt{-36}}{2}$$

$\sqrt{-36}$ をどう扱うか。 これが山場だ。

$$\sqrt{-36}=\sqrt{36}\times \sqrt{-1}=6i$$

$-6$ ではない。$6i$ である。 負の数の平方根は、$i$ を使って書く。

$$x=\frac{4\pm 6i}{2}=2\pm 3i$$

$2$ 解は $2+3i$ と $2-3i$ — 共役のペアになっている。実数係数の方程式だから、当然だ。

「解なし」ではない。 複素数を学んだ今、$2$ 次方程式は必ず $2$ つの解を持つ。

$a=1$、$b=-4$、$c=13$。判別式は

$$b^2-4ac=16-52=-36<0$$

負なので虚数解になる。$\sqrt{-36}=6i$ を使って

$$x=\frac{4\pm \sqrt{-36}}{2}=\frac{4\pm 6i}{2}=2\pm 3i$$

(判別式が負なら、$\sqrt{(\text{負})}=(\text{正})i$ と書きかえるだけ。共役な2解 $2+3i$、$2-3i$ がペアで出る。)

発展 — 一歩先へ。 複素数を導入したことで、判別式の意味が変わった。

中学・数Iまで: $D<0$ なら「解なし」

複素数を知った今: $D<0$ なら「虚数解を $2$ つ持つ」

「解なし」という言葉が消えた。 $2$ 次方程式は、複素数の範囲で必ず $2$ つの解を持つ($D=0$ なら重解を $2$ つと数える)。

そして、これが一般化される。

$$\boxed{n\text{次方程式は、複素数の範囲で必ず }n\text{個の解を持つ(重解も数えて)}}$$

代数学の基本定理である($19$ 世紀にガウスが証明した)。

この定理の凄みを味わってほしい。 どんなに複雑な方程式でも — $x^{100}-3x^{47}+\sqrt{2}x-\pi =0$ でも — 複素数の中には、ちょうど $100$ 個の解がある。$1$ つも欠けず、$1$ つも余らない。

数の世界を複素数まで広げると、方程式の解が"ちょうど"収まる。 これ以上広げる必要はない($5$ 次方程式の解も、$100$ 次方程式の解も、すべて複素数の中にいる)。

複素数は代数的に閉じている、という。方程式を解くために数を発明してきた人類の旅は、複素数で終着点に達したのだ。

$$\mathbb{N}\to \mathbb{Z}\to \mathbb{Q}\to \mathbb{R}\to \mathbb{C}$$

自然数から始まり、引き算のために負の数を、割り算のために分数を、$\sqrt{2}$ のために実数を、$\sqrt{-1}$ のために複素数を — そのたびに世界は広がり、そして複素数で完成した。

$x^2-4x+13=0$ が解けたこと。それは、この長い旅の終点に立っているということである。

別解

解の公式を使わず、平方完成で解く。 公式を忘れても解けるし、$i$ が現れる瞬間が見えるので、理解が深まる。

平方完成する。

$$x^2-4x+13=0$$

$x$ の係数 $-4$ の半分($-2$)を使って

$$(x-2{)}^2-4+13=0$$

$$(x-2{)}^2+9=0$$

$$(x-2{)}^2=-9$$

ここが決定的な瞬間だ。

「$2$ 乗して $-9$ になる数」を探している。 実数の世界では、$2$ 乗は必ず $0$ 以上 — だから実数解は存在しない(判別式が負、というのはこのことだ)。

しかし複素数なら、ある。

$$(3i{)}^2=9i^2=-9✓,(-3i{)}^2=9i^2=-9✓$$

$\pm 3i$ の $2$ つ。 だから

$$x-2=\pm 3i⟹x=2\pm 3i$$

解の公式と同じ答え ✓。

平方完成ルートの利点。

$1$ つ目: 公式を覚えなくてよい。 $x$ の係数の半分を引いて、足して引いた分を調整するだけ。

$2$ つ目: なぜ虚数解が出るのかが見える。 「$2$ 乗 $=$ 負の数」という不可能な要求に、$i$ が答えている — $i$ の存在理由が、目の前で分かる。

$3$ つ目: 実部 $2$、虚部 $\pm 3$ という構造が直接出る。 $(x-2{)}^2=-9$ という形から、実部は $2$(平方完成でずらした分)、虚部は $\pm 3$ であると読める。解の公式の分数計算より、見通しがよい。

検算は、解と係数の関係で。

• $2$ 解の和: $(2+3i)+(2-3i)=4$ — 係数から $-\frac{-4}{1}=4$ ✓
• $2$ 解の積: $(2+3i)(2-3i)=4-9i^2=4+9=13$ — 係数から $\frac{13}{1}=13$ ✓

共役の積が実数($13$)になる — 前問で見た $z\bar{z}=a^2+b^2$ そのものだ。$2^2+3^2=13$ ✓。

$2$ 次方程式が虚数解を持つとき、その解は必ず「実部 $=$ 頂点の $x$ 座標」「虚部 $=$ $\pm \sqrt{|D|}/2$」の形をしている。 グラフで言えば、放物線が $x$ 軸から浮いているとき、その"浮き"の分が虚部として現れるのだ。

$$y=(x-2{)}^2+9$$

頂点 $(2,9)$ — $x$ 軸から $9$ だけ浮いている。 この $9$ が $\sqrt{9}=3$ となって、虚部 $\pm 3i$ に化ける。グラフの"浮き上がり"が、虚数の正体である。