ω を使った式の値

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\omega$ は $1+\omega +{\omega }^2=0$ を満たす。ここから $1+\omega =-{\omega }^2$、$1+{\omega }^2=-\omega$ と書き換えられる。

かっこの中が、$\omega$ の単項に化けた。

こうなれば $6$ 乗は ${\omega }^3=1$ で瞬時に片づく。和の形を単項に翻訳してから累乗する。これが発想の核だ。

$1+\omega +{\omega }^2=0$ を移項すると、次の2つが得られる。

$$1+\omega =-{\omega }^2,1+{\omega }^2=-\omega$$

それぞれ6乗する。

$$(1+\omega {)}^6=(-{\omega }^2{)}^6={\omega }^{12}=({\omega }^3{)}^4=1$$

$$(1+{\omega }^2{)}^6=(-\omega {)}^6={\omega }^6=({\omega }^3{)}^2=1$$

$(-1)$ の6乗は $1$、${\omega }^3=1$ で累乗が消える。よって

$$(1+\omega {)}^6+(1+{\omega }^2{)}^6=1+1=2$$

発展 — 一歩先へ。 $1+\omega +{\omega }^2=0$ は、「$1$ の $n$ 乗根をすべて足すと $0$」($n\ge 2$)の $n=3$ の場合だ。この和が消える性質のおかげで、$\omega$ を含む対称的な計算はばたばたと片づく。

さらにこの性質は、二項係数を $3$ 個おきに足す道具になる。$(1+1{)}^n$、$(1+\omega {)}^n$、$(1+{\omega }^2{)}^n$ を足すと、$\omega$ の指数が $3$ の倍数の項だけ $3$ 倍で残り、ほかは $1+\omega +{\omega }^2=0$ で消える。

つまり $C(n,0)+C(n,3)+C(n,6)+\cdots =\frac{2^n+(1+\omega {)}^n+(1+{\omega }^2{)}^n}{3}$ となる。本問の $(1+\omega {)}^n+(1+{\omega }^2{)}^n$ は、まさにこの「$3$ 個おきの和」を調整する項だ。これを $1$ の $n$ 乗根フィルターという。

別解

別解 — $1+\omega$、$1+{\omega }^2$ が満たす $2$ 次式から $z^3=-1$ を引き出す(得意な人向けの視点)。 $s=1+\omega$、$t=1+{\omega }^2$ とおく。この $2$ 数の和と積を出す。

$$s+t=2+(\omega +{\omega }^2)=2-1=1,st=(1+\omega )(1+{\omega }^2)=1+\omega +{\omega }^2+{\omega }^3=0+1=1$$

和 $1$・積 $1$ だから、$s$、$t$ は $z^2-z+1=0$ の $2$ 解。この式から $z^2=z-1$、さらに

$$z^3=z\cdot z^2=z(z-1)=z^2-z=(z-1)-z=-1$$

つまり $s^3=t^3=-1$。よって $s^6=(s^3{)}^2=1$、$t^6=1$。

$$s^6+t^6=1+1=2$$

$1+\omega =-{\omega }^2$ と直す本解と同じ答え。$1+\omega$ が $z^3=-1$ を満たす($1$ の原始 $6$ 乗根)と見抜くと、$6$ 乗が一瞬で $1$ になる。