3次方程式を解く

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $3$ 次方程式は、因数定理で $1$ つ解を見つけて、次数を下げる。これしかない。

$P(x)=x^3-3x^2+4$ の定数項は $4$。候補は $\pm 1,\pm 2,\pm 4$。

$x=1$: $1-3+4=2\ne 0$ — はずれ。

$x=-1$: $-1-3+4=0$ — 当たり!

$(-1{)}^3=-1$、$-3(-1{)}^2=-3$ — 符号の扱いに注意する($(-1{)}^2=+1$ なので、$-3\times 1=-3$)。

$(x+1)$ で割る。

$$x^3-3x^2+4=(x+1)(x^2-4x+4)=(x+1)(x-2{)}^2$$

$(x-2{)}^2$ — $2$ 乗になっている。 これは $x=2$ が重解だということ。

$$x=-1,x=2(\text{重解})$$

重解を見落とさない。 「$x=2$ が $2$ 回」であることを、答えに明記する。

$P(x)=x^3-3x^2+4$。定数項 $4$ の約数を試すと $P(-1)=-1-3+4=0$。よって $x+1$ が因数。割ると

$$x^3-3x^2+4=(x+1)(x^2-4x+4)=(x+1)(x-2{)}^2$$

『積 $=0$』より $x+1=0$ または $(x-2{)}^2=0$。よって

$$x=-1,x=2(\text{重解})$$

($(x-2{)}^2=0$ は $x=2$ の重解。$2$ は『2重にダブった解』だ。)

発展 — 一歩先へ。 重解には、微分を使った鮮やかな特徴づけがある。

$$\boxed{x=k\text{が}P(x)=0\text{の重解}⟺P(k)=0\text{かつ}{P}^{\prime }(k)=0}$$

「値も $0$、傾きも $0$」 — グラフが $x$ 軸に接している、ということの数式表現だ。

確かめる。 $P(x)=x^3-3x^2+4$、$P^{\prime }(x)=3x^2-6x$。

$$P(2)=8-12+4=0✓$$ $$P^{\prime }(2)=12-12=0✓$$

両方 $0$ — だから $x=2$ は重解。

一方 $x=-1$ では

$$P(-1)=0✓,P^{\prime }(-1)=3+6=9\ne 0$$

傾きが $0$ でない → 単なる解(重解ではない)。 グラフは $x$ 軸を"横切って"いる。

この判定法は、非常に実用的だ。 因数分解しなくても、$P$ と $P^{\prime }$ の共通解を探すだけで重解が見つかる。

そして、これは $2$ 次方程式の判別式の一般化になっている。 $a{x}^2+bx+c$ と $2ax+b$ の共通解を持つ条件を計算すると、ちょうど $b^2-4ac=0$ が出てくる。

「判別式」は、$3$ 次以上にも存在する(かなり複雑な式になるが)。その正体は「$P$ と $P^{\prime }$ が共通解を持つ条件」— つまり重解を持つ条件である。

微分は、単に接線や増減のためだけの道具ではない。 「方程式が重解を持つか」という代数的な問いにも、微分が答えを出す — 解析と代数が交わる、美しい場面である。

別解

「重解」とは何なのか。 グラフで見ると、その意味が一目で分かる。そして、重解を持つ条件を見つける方法も手に入る。

グラフで見る。 $y=x^3-3x^2+4$ のグラフを描いてみよう。

微分して増減を調べる(数IIの微分)。

$$y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$$

$$y^{\prime }=0⟹x=0,2$$

極大・極小の値を計算する。

• $x=0$ で極大値 $y=4$
• $x=2$ で極小値 $y=8-12+4=0$

極小値が、ちょうど $0$ !

これが重解の正体だ。

$$\text{グラフの谷底が、ぴったり x 軸に触れている}$$

交わるのではなく、"接している"。

$3$ 次関数と $x$ 軸の交わり方は、$3$ 通りある。

今回は極小値がちょうど $0$ なので、真ん中のケース。 $x=2$ で接し、$x=-1$ で横切る — だから解は $2$ 個で、片方が重解なのだ。

「重解 $=$ グラフが $x$ 軸に接する」 — これが最も本質的な理解である。

$2$ 次方程式でも同じだった。 判別式 $D=0$ のとき、放物線が $x$ 軸に接して重解を持つ。接するとき重解 — 次数によらず、共通の原理だ。

この見方の実用性。 「$x^3-3x^2+a=0$ が重解を持つような $a$ を求めよ」という問題が出たとしよう。

極値が $0$ になればよい。

$$y=x^3-3x^2+a,y^{\prime }=3x(x-2)$$

極大値は $y(0)=a$、極小値は $y(2)=8-12+a=a-4$。

$$a=0\text{または}a-4=0$$

$$\boxed{a=0\text{または}a=4}$$

因数分解を試行錯誤せずに、答えが出た ✓($a=4$ が、この問題の場合だ)。

検算も忘れずに。$3$ 解の和は、係数から $3$ になるはず。

$$(-1)+2+2=3✓$$

重解は $2$ 回数える — これが「$n$ 次方程式は $n$ 個の解を持つ(重解も数えて)」という言い方の意味である。$3$ 次なら、解は必ず $3$ 個ぶん。$-1$、$2$、$2$ — ちゃんと $3$ 個ある。