1の3乗根ωを使った累乗の計算

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\omega$ は ${\omega }^2+\omega +1=0$、${\omega }^3=1$ を満たす $1$ の虚立方根。$100$ 乗をまともに展開せず、$\omega$ の性質で簡単化する。

${\omega }^2+\omega +1=0$ から $1+\omega =-{\omega }^2$、$1+{\omega }^2=-\omega$。$100$ 乗する対象が単項式になった。

$(-{\omega }^2{)}^{100}={\omega }^{200}$、$(-\omega {)}^{100}={\omega }^{100}$($(-1{)}^{100}=1$)。${\omega }^3=1$ で指数を $3$ で割った余りに落とす。$200\equiv 2$、$100\equiv 1$ だから ${\omega }^2+\omega =-1$。

① かっこの中を簡単にする。 ${\omega }^2+\omega +1=0$ より

$$1+\omega =-{\omega }^2,1+{\omega }^2=-\omega$$

② 累乗する。

$$(1+\omega {)}^{100}=(-{\omega }^2{)}^{100}={\omega }^{200},(1+{\omega }^2{)}^{100}=(-\omega {)}^{100}={\omega }^{100}$$

($(-1{)}^{100}=1$ に注意。)

③ 指数を $3$ で割った余りに。 ${\omega }^3=1$ だから

$${\omega }^{200}={\omega }^{3\cdot 66+2}={\omega }^2,{\omega }^{100}={\omega }^{3\cdot 33+1}=\omega$$

④ 足す。

$${\omega }^{200}+{\omega }^{100}={\omega }^2+\omega =-1$$

(最後は ${\omega }^2+\omega +1=0$ より ${\omega }^2+\omega =-1$。)

まとめ:$\omega$ の計算は「$1+\omega =-{\omega }^2$ 等でかっこを単項に」+「${\omega }^3=1$ で指数を $3$ で割った余りに」。最後は ${\omega }^2+\omega =-1$ で締める。$1$ の $3$ 乗根の関係式を自在に使えるかがカギ。

発展 — 一歩先へ。 $1+\omega$ は絶対値 $1$・偏角 $60°$、すなわち $1$ の原始 $6$ 乗根。だから $(1+\omega {)}^n$ は周期 $6$ で巡回する。$\omega$(正三角形の頂点)から $1+\omega$(正六角形の頂点)が生まれる関係は、正三角形と正六角形が円周の $3$ 等分・$6$ 等分で結ばれることの現れだ。

別解

別解 — $1+\omega =-{\omega }^2$ を極形式で読む(視覚で捉えるルート)。 $\omega =\cos 120°+i\sin 120°$ とすると、$1+\omega =1+\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$。これは絶対値 $1$・偏角 $60°$ の複素数だ。

$100$ 乗すると、偏角は $60°\times 100=6000°$。$6000=360\times 16+240$ だから、偏角 $240°$ の点。$\cos 240°+i\sin 240°=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i={\omega }^2$。

同様に $1+{\omega }^2$ は偏角 $-60°$(共役)で、$100$ 乗すると偏角 $-6000°\equiv -240°\equiv 120°$、すなわち $\omega$。

足すと ${\omega }^2+\omega =-1$($1+\omega +{\omega }^2=0$ から)。

${\omega }^3=1$ で指数を落とす本解と同じだが、極形式なら「$1+\omega$ は偏角 $60°$ の単位複素数で、$100$ 乗は偏角を $100$ 倍して $360°$ で畳む」と、回転として見える。$1+\omega$ が偏角 $60°$($=1$ の原始 $6$ 乗根の $1$ つ)なのが鍵で、周期 $6$ で巡回する。