剰余の定理

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「余りを求めよ」— 筆算をする必要はない。

剰余の定理を使う。

$$P(x)\text{を}(x-k)\text{で割った余りは}P(k)$$

割る式を $0$ にする値を、代入するだけ。 $x-2$ なら $x=2$ を入れる。

$$P(2)=2^3-2\cdot 2^2+3\cdot 2-1=8-8+6-1=5$$

余りは $5$。

符号に注意。 $x-2$ で割るなら代入するのは $+2$($x=2$ で $x-2=0$ になるから)。$-2$ ではない。$x+2$ で割るときに $-2$ を代入する — 逆にしない。

「割る式 $=0$ とおいて解いた値」を代入する — これが確実な覚え方だ。

① なぜ代入で余りが出るのかを確かめる。 $P(x)$ を $x-2$ で割った商を $Q(x)$、余りを $R$(定数)とすると

$$P(x)=(x-2)Q(x)+R$$

ここに $x=2$ を入れると、$(x-2)$ の部分が $0$ になって $Q(x)$ ごと消え、$R$ だけが残る。つまり $P(2)=R$＝余り。だから割り算をしなくても、$x=2$ を代入するだけで余りが分かる。

② 実際に代入する。

$$P(2)=2^3-2\cdot 2^2+3\cdot 2-1=8-8+6-1=5$$

よって余りは $5$。

まとめ:$x-a$ で割った余り $=P(a)$ の正体は「$P(x)=(x-a)Q(x)+R$ に $x=a$ を入れると $(x-a)$ が消えて $R$ が残る」こと。長い割り算が1回の代入で済む。

発展 — 一歩先へ。 剰余の定理は、整数の余りの話とそっくり同じ構造をしている。

整式の世界にも「合同式」がある。 $x\equiv 2(\mathrm{mod}(x-2))$ と書けば、$x$ を $2$ に置きかえてよい、ということ。

$$P(x)=x^3-2x^2+3x-1\equiv 2^3-2\cdot 2^2+3\cdot 2-1=5(\mathrm{mod}(x-2))$$

剰余の定理は、整式の合同式そのものだったのだ。

そして、この対応はもっと深い。 整数で「素数」に当たるものが、整式では「既約多項式」(これ以上因数分解できない式)。整数の素因数分解に当たるのが、整式の因数分解。ユークリッドの互除法も、そのまま整式で動く。

$\mathbb{Z}$(整数)と $\mathbb{R}[x]$(実数係数の多項式)は、同じ骨格を持つ。 大学の代数学では、この共通構造をユークリッド整域という言葉で統一的に扱う。

「余りを求める」という同じ問いが、数の世界と式の世界に、同じ形で現れる。 数学の統一感を味わえる、いい題材である。

別解

商まで欲しいときは、組立除法。 そして「$2$ 次式で割ったときの余り」という応用まで、一気に見ておこう。

組立除法で、商と余りを両方出す。

$P(x)=x^3-2x^2+3x-1$ の係数だけを並べる。$x=2$ で割るので、左に $2$ を置く。

$$\begin{array}{rrrrr}2& 1& -2& 3& -1\\ & & 2& 0& 6\\ & 1& 0& 3& \boxed{5}\end{array}$$

「下ろす → 掛ける → 足す」を繰り返すだけ。

• $1$ をそのまま下ろす
• $1\times 2=2$ → $-2+2=0$
• $0\times 2=0$ → $3+0=3$
• $3\times 2=6$ → $-1+6=5$ ← 余り

下の段 $1,0,3$ が商の係数(次数が $1$ 下がって $2$ 次式)。

$$P(x)=(x-2)(x^2+3)+5$$

検算しよう。

$$(x-2)(x^2+3)+5=x^3+3x-2x^2-6+5=x^3-2x^2+3x-1✓$$

剰余の定理で出した余り $5$ と一致 ✓。

なぜ剰余の定理が成り立つのか、この式が答えている。

$$P(x)=(x-2)Q(x)+R$$

$x=2$ を代入すると、$(x-2)$ の部分が $0$ になる。

$$P(2)=0\times Q(2)+R=R$$

商 $Q(x)$ が何であろうと、消えてしまう。 だから代入するだけで余りが出る。

さて、応用だ。「$2$ 次式で割った余り」はどうなるか。

$$P(x)\text{を}{x}^2-1\text{で割った余りを求めよ}$$

$2$ 次式で割るので、余りは $1$ 次以下($ax+b$ の形)。

$$P(x)=(x^2-1)Q(x)+ax+b$$

$x^2-1=(x-1)(x+1)$ が $0$ になる値を、$2$ つとも代入する。

$$x=1:P(1)=a+b$$ $$x=-1:P(-1)=-a+b$$

連立方程式で $a$、$b$ が求まる。

今回の $P(x)=x^3-2x^2+3x-1$ なら、$P(1)=1$、$P(-1)=-7$。

$$a+b=1,-a+b=-7$$

解いて $a=4$、$b=-3$。余りは $4x-3$。

「割る式を $0$ にする値を、全部代入する」 — 剰余の定理の一般形だ。$n$ 次式で割るなら、余りは $n-1$ 次以下で、未知数は $n$ 個。$n$ 個の代入値があれば決まる。

この技は、入試の頻出テーマである。「$x^{100}$ を $x^2-1$ で割った余りを求めよ」のような問題も、$x=\pm 1$ を代入するだけで解ける($P(1)=1$、$P(-1)=1$ → 余りは $1$)。

$100$ 乗を筆算する人はいない。定理を使う人が勝つ。