高次の式を2次式で割った余り(ω利用)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x^{2024}$ の割り算を実行するわけにはいかない。だが2次式で割った余りは $ax+b$ の形で、未知数は2つだけだ。

未知数2つには等式2本。割る式 $x^2+x+1$ の根 $\omega$(1の虚立方根)を割り算の等式に代入すれば、${\omega }^{2024}=a\omega +b$ が得られる。

${\omega }^3=1$ だから左辺は指数を3で割った余りだけで決まる。しかも $\omega$ が虚数なので、この1本の複素数の等式が実質2本(実部と虚部)の働きをする。

① 余りをおく。 $x^{2024}=(x^2+x+1)Q(x)+ax+b$。$x=\omega$ を代入すると ${\omega }^2+\omega +1=0$ より右辺第 $1$ 項は $0$、 $${\omega }^{2024}=a\omega +b.$$ ② ${\omega }^{2024}$ を簡単化。 ${\omega }^3=1$ なので ${\omega }^{2024}={\omega }^{2024\mathrm{mod}3}$。$2024=3\cdot 674+2$ より ${\omega }^{2024}={\omega }^2=-\omega -1$。

③ 係数比較。 $a\omega +b=-\omega -1$。$\omega$ は虚数(実数の $1$ と $\omega$ は一次独立)だから係数を比べて $$a=-1,b=-1.$$ よって余りは $-x-1$。

まとめ 割る式の根 $\omega$ を代入し、${\omega }^{2024}={\omega }^2=-\omega -1$ と係数比較して余り $-x-1$。剰余の定理と $1$ の $3$ 乗根の融合。$3$ の余りで指数を落とすのが急所。

発展 — 一歩先へ。 $x^n$ を $x^2+x+1$ で割った余りは $n$ を3で割った余りだけで決まり、$1,x,-x-1$ を巡回する。割る式を $x^2-x+1$(1の原始6乗根の式)に変えれば周期は6。整数の合同式と同じ「周期のからくり」が、多項式の割り算にもある。

別解

別解 — 複素数を使わず「$x^3\equiv 1$」で(苦手な人向け)。 因数分解 $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ に注目する。$x^3-1$ は $x^2+x+1$ で割り切れる。

だから「$x^2+x+1$ で割った余り」の世界では、$x^3$ を $1$ に置き換えてよい。

$$x^{2024}=(x^3{)}^{674}\cdot x^2\equiv 1^{674}\cdot x^2=x^2.$$

最後に $x^2$ 自身を割る。$x^2=(x^2+x+1)-x-1$ だから、余りは $-x-1$。

虚数 $\omega$ を一度も出さずに、整数の合同式とそっくりの計算で終わった。「3乗すると1になる」構造は $\omega$ の性質である前に、割る式 $x^2+x+1$ が $x^3-1$ の因数だという事実だったのだ。