3乗して 18+26i になる複素数

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $(a+bi{)}^3$ を展開して実部・虚部を比べると $a^3-3a{b}^2=18$、$3a^{2}b-b^3=26$。3次の連立で、正面からは解けない。

そこで方程式の絶対値をとる。$z^3=w$ なら $|z{|}^3=|w|$。これは元の方程式の「影」で、$|z{|}^2=a^2+b^2$ という2次の関係を1本くれる。整数条件と合わされば候補は有限個。あとは代入で仕留める。

① 絶対値をとる。

$$|z{|}^3=|18+26i|=\sqrt{18^2+26^2}=\sqrt{324+676}=\sqrt{1000}=10\sqrt{10}$$

よって $|z|=\sqrt{10}$、すなわち

$$a^2+b^2=10$$

② 候補を列挙する。 整数で2乗の和が10になるのは $(|a|,|b|)=(1,3),(3,1)$ のみ。符号も含めて候補は8個。

③ 代入して確定する。 $(a+bi{)}^3=a^3-3a{b}^2+(3a^{2}b-b^3)i$ だから、実部 $=18$、虚部 $=26$ を確かめる。$(a,b)=(3,1)$:

$$a^3-3a{b}^2=27-9=18,3a^{2}b-b^3=27-1=26$$

で適する。他の候補は、たとえば $(1,3)$ は実部 $1-27=-26\ne 18$、$(-3,-1)$ は $z^3$ 全体の符号が反転して $-18-26i$、のようにどれも合わない。よって

$$z=3+i$$

まとめ: 「絶対値をとる」は複素数の方程式の第一手だ。3乗の逆算が、格子点探し($a^2+b^2=10$)という有限の問題に落ちる。なお $z^3=18+26i$ の解は全部で3つあるが、残り2つは $3+i$ に $\omega$(1の3乗根の虚数のもの)を掛けたもので、成分が整数にならない。

発展 — 一歩先へ。 成分が整数の複素数(ガウス整数)の世界では、$18+26i=(3+i{)}^3$ は「完全な立方数」だ。ガウス整数にも素因数分解の一意性があり、この種の方程式はその世界の言葉で自然に説明される。整数論が複素数へ広がっていく入り口である。

別解

約数で絞る(整数の目のルート)。 絶対値を使わずに、実部・虚部の式そのものから整数の情報を搾り取ることもできる。

実部の式を因数分解すると

$$a^3-3a{b}^2=a(a^2-3b^2)=18$$

$a$ は整数だから、$a$ は18の約数。同じく虚部から

$$3a^{2}b-b^3=b(3a^2-b^2)=26$$

で、$b$ は26の約数だ。候補は $a\in \{\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6,\pm 9,\pm 18\}$、$b\in \{\pm 1,\pm 2,\pm 13,\pm 26\}$ に限られる。

大きい候補はすぐ消える($|a|\ge 6$ なら $|a(a^2-3b^2)|$ が18に合わない、など)。小さい候補を系統的に試すと、$a=3$: $3(9-3b^2)=18$ から $b^2=1$、虚部の検算 $b(27-1)=26b=26$ から $b=1$ — $(3,1)$ だけが両方を満たす。

「整数解なら約数で絞れる」という整数問題の常套手段が、複素数の方程式にもそのまま刺さる。絶対値ルート(本解)との2本立てで、答えの信頼は万全になる。