解を解に移す恒等式

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 (1)は両辺とも6次の恒等式で、力ずくの展開でも届くが、見通しよくやりたい。

$f(-x)=-x^3+3x+1$ を $f(x)=x^3-3x+1$ と並べると、$x^3-3x$ のかたまりが符号違いで現れている。そこで $u=x^3-3x$ とおけば $f(x)=u+1$、$f(-x)=1-u$ で、右辺は $-(u+1)(1-u)=u^2-1$ と和と差の積に潰れる。

あとは左辺も $u$ で書けることを確かめるだけ。(2)は(1)の恒等式に $x=\alpha$ を代入する。恒等式が解を次の解へ運ぶ構造だ。

① 右辺を計算する。 $u=x^3-3x$ とおくと

$$-f(x)f(-x)=-(u+1)(1-u)=u^2-1=(x^3-3x{)}^2-1=x^6-6x^4+9x^2-1$$

② 左辺を計算する。 $(x^2-2{)}^3=x^6-6x^4+12x^2-8$ だから

$$f(x^2-2)=(x^2-2{)}^3-3(x^2-2)+1=x^6-6x^4+12x^2-8-3x^2+6+1=x^6-6x^4+9x^2-1$$

①と一致するので、$f(x^2-2)=-f(x)f(-x)$ が恒等的に成り立つ。

③ (2) を示す。 $\alpha$ が解なら $f(\alpha )=0$。(1)に $x=\alpha$ を代入して

$$f({\alpha }^2-2)=-f(\alpha )f(-\alpha )=-0\cdot f(-\alpha )=0$$

よって ${\alpha }^2-2$ も $f(x)=0$ の解である。

まとめ: 置き換え $u=x^3-3x$ が6次の計算を2行にする。実はこの方程式の3つの解は $\alpha \to {\alpha }^2-2\to ({\alpha }^2-2{)}^2-2\to \alpha$ と、1つの式で巡回して結ばれている。1つの解から残りの解が「作れる」珍しい3次方程式で、その仕掛けを恒等式1本が支えている。

発展 — 一歩先へ。 巡回の正体は角の倍加だ(別解)。解を $2\cos 40^{\circ },2\cos 80^{\circ },2\cos 160^{\circ }$ と書くと、$\alpha \mapsto {\alpha }^2-2$ は角を2倍にする操作で、$40^{\circ }\to 80^{\circ }\to 160^{\circ }\to 320^{\circ }(\cos \text{は}40^{\circ }\text{と同じ})$ と3回でひと回りする。

別解

$x=2\cos \theta$ で正体を見る(角の倍加ルート)。 置き換え $x=2\cos \theta$ を試すと、この恒等式の意味が見えてくる。

まず部品を計算する。三倍角の公式から

$$f(2\cos \theta )=8{\cos }^3\theta -6\cos \theta +1=2\cos 3\theta +1$$

また、倍角の公式から $x^2-2=4{\cos }^2\theta -2=2\cos 2\theta$。つまり「$x\mapsto x^2-2$」は「角 $\theta \mapsto 2\theta$」の言い換えだ。

両辺を計算すると、左辺は $f(2\cos 2\theta )=2\cos 6\theta +1$。右辺は $f(-2\cos \theta )=-2\cos 3\theta +1$ を使って

$$-f(2\cos \theta )f(-2\cos \theta )=-(2\cos 3\theta +1)(1-2\cos 3\theta )=4{\cos }^{2}3\theta -1=2\cos 6\theta +1$$

(最後は倍角 $2{\cos }^{2}A=1+\cos 2A$。)両辺が一致した。

これで $-2\le x\le 2$ のすべての $x$ で等式が成り立つ。両辺は多項式で、無限個の点で一致する多項式は恒等的に等しいから、(1)が示された。展開のない証明であると同時に、「$x^2-2$ =角の倍加」という(2)の巡回の種明かしにもなっている。