1の虚立方根の高次のべき

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2024$ 乗をまともに展開するのは論外。$\omega$ の世界の武器は2つある。${\omega }^3=1$(3乗で1周)と、$1+\omega +{\omega }^2=0$(3つ足すと消える)だ。

まず $1+\omega$ そのものを1文字に直す。和の式から $1+\omega =-{\omega }^2$。

これで $(1+\omega {)}^{2024}=(-{\omega }^2{)}^{2024}$。あとは偶数乗で符号が消え、指数を $3$ で割った余りに落とすだけになる。

① 底を書き直す。 ${\omega }^2+\omega +1=0$ より $1+\omega =-{\omega }^2$。よって $$(1+\omega {)}^{2024}=(-{\omega }^2{)}^{2024}=(-1{)}^{2024}{\omega }^{4048}={\omega }^{4048}.$$ ② 指数を余りに。 ${\omega }^3=1$ なので ${\omega }^{4048}={\omega }^{4048\mathrm{mod}3}$。$4048=3\cdot 1349+1$ より余りは $1$。 $${\omega }^{4048}={\omega }^1=\omega .$$ ゆえに $(1+\omega {)}^{2024}=\omega$。

まとめ $1+\omega =-{\omega }^2$ で底を変え、${\omega }^3=1$ で指数を $3$ の余り($1$)に落として $(1+\omega {)}^{2024}=\omega$。$1$ の $3$ 乗根の基本関係と指数計算の融合。

発展 — 一歩先へ。 $1+\omega$ は絶対値 $1$・偏角 $60^{\circ }$、つまり1の原始6乗根である。$(1+\omega {)}^n$ は周期 $6$ で $1,-{\omega }^2,\omega ,-1,{\omega }^2,-\omega$ を巡回する。$\omega$(正三角形の頂点)から $1+\omega$(正六角形の頂点)が生まれる、と眺めると景色がよい。

別解

別解 — 極形式とド・モアブルで一撃(得意な人向けの高い視点)。 $\omega =\cos 120^{\circ }+i\sin 120^{\circ }$ とすると

$$1+\omega =\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=\cos 60^{\circ }+i\sin 60^{\circ }.$$

絶対値 $1$・偏角 $60^{\circ }$ の複素数だ。ド・モアブルの定理で $2024$ 乗は偏角 $2024\cdot 60^{\circ }=121440^{\circ }$ の点になる。

$121440=360\cdot 337+120$ だから、残る角は $120^{\circ }$。

$$(1+\omega {)}^{2024}=\cos 120^{\circ }+i\sin 120^{\circ }=\omega .$$

$1+\omega$ が偏角 $60^{\circ }$(正六角形の1歩)だと分かれば、$6$ 乗ごとに $1$ へ戻る周期も見える。$2024=6\cdot 337+2$ で $(1+\omega {)}^2=\omega$ と読んでも同じ答えに着く。