3次方程式の3解の3乗の和

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 ${\alpha }^3$ を解の値から直接計算するのは無理。解と係数の関係と、「各解が方程式を満たす」ことを使う。

まず基本対称式。解と係数の関係で $\alpha +\beta +\gamma =2$、$\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =3$、$\alpha \beta \gamma =4$。

各解は $x^3=2x^2-3x+4$ を満たす($x^3-2x^2+3x-4=0$ の移項)。だから $\sum {\alpha }^3=2\sum {\alpha }^2-3\sum \alpha +12$。$\sum {\alpha }^2=(\sum \alpha {)}^2-2\sum \alpha \beta$ を計算して代入すれば出る。

① 基本対称式。 $x^3-2x^2+3x-4=0$ より

$$\alpha +\beta +\gamma =2,\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =3,\alpha \beta \gamma =4$$

② $2$ 乗の和。 ${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2=(\alpha +\beta +\gamma {)}^2-2(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )=2^2-2\cdot 3=-2$。

③ 次数を下げて足す。 各解は ${\alpha }^3=2{\alpha }^2-3\alpha +4$ を満たす($\beta ,\gamma$ も同様)。$3$ つ足すと

$${\alpha }^3+{\beta }^3+{\gamma }^3=2({\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2)-3(\alpha +\beta +\gamma )+4\cdot 3$$

$$=2\cdot (-2)-3\cdot 2+12=-4-6+12=2$$

まとめ:$3$ 解の $3$ 乗和は「解は方程式を満たす(${\alpha }^3=\cdots$)」で次数を下げ、$2$ 乗和・$1$ 乗和(基本対称式で計算)に帰着させるのが速い。$3$ 解ぶん足すと定数項が $3$ 倍になる点に注意。

発展 — 一歩先へ。 ニュートンの公式 $p_k=e_1{p}_{k-1}-e_2{p}_{k-2}+e_3{p}_{k-3}$ は、べき和 $p_k$ を基本対称式で次々に生成する。$3$ 次方程式の解の $p_4,p_5,\dots$ もこの漸化式で求まる。逆に $p_k$ から $e_k$ を復元することもでき、対称式の理論の中核をなす。フィボナッチ数列の $p_k$ もこの形だ。

別解

別解 — ニュートンの公式($p_k$ の漸化式)で機械的に(得意な人向けの高い視点)。 べき和 $p_k={\alpha }^k+{\beta }^k+{\gamma }^k$ は、基本対称式 $e_1=2,e_2=3,e_3=4$ から漸化式で出る(ニュートンの公式)。

$$p_1=e_1=2,p_2=e_1{p}_1-2e_2=4-6=-2,p_3=e_1{p}_2-e_2{p}_1+3e_3.$$

$$p_3=2\cdot (-2)-3\cdot 2+3\cdot 4=-4-6+12=2.$$

各解が方程式を満たす(${\alpha }^3=2{\alpha }^2-3\alpha +4$)ことを使う本解と、ニュートンの公式は同じ結果 $p_3=2$。ニュートンの公式は $p_4,p_5,\dots$ もこの漸化式で次々に出せるのが強みで、対称式の計算を系統化する。「各解が方程式を満たす」は、$3$ 次までなら最も素朴で、それをまとめたのがニュートンの公式だ。