複素数の四則(和・積)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 複素数の計算は、$i$ を普通の文字だと思って計算し、最後に $i^2=-1$ を使う — これだけだ。

新しい計算法則を覚える必要はない。中学でやった文字式の計算そのものである。

(1) 足し算: 実部どうし、虚部どうしを足す($3x+2y$ と $x-4y$ を足すのと同じ)。

$$(3+2i)+(1-4i)=(3+1)+(2-4)i=4-2i$$

(2) 掛け算: 分配法則で展開する。ここで $i^2$ が出てくる。

$$2i\times (-4i)=-8i^2=-8\times (-1)=\boxed{+8}$$

$i^2=-1$ のせいで、符号が反転する — ここが唯一の関門だ。$i^2$ を $1$ としてしまうと、答えがずれる。

(3) も同じ。$(2+i{)}^2=4+4i+i^2=4+4i-1=3+4i$。

$i^2$ を見たら $-1$ に置きかえる — 呪文のように唱えながら計算する。

(1) 実部どうし・虚部どうしを足す。

$$(3+2i)+(1-4i)=(3+1)+(2-4)i=4-2i$$

(2) 展開して $i^2=-1$ を使う。

$$(3+2i)(1-4i)=3-12i+2i-8i^2=3-10i+8=11-10i$$

(3) $(a+b{)}^2$ の展開。

$$(2+i{)}^2=4+4i+i^2=4+4i-1=3+4i$$

発展 — 一歩先へ。 なぜ人類は、こんな「ありえない数」を作ったのか。

きっかけは $2$ 次方程式ではなく、$3$ 次方程式だった。$16$ 世紀のイタリアで、$3$ 次方程式の解の公式が発見されたとき、奇妙なことが起きた。

$$x^3=15x+4$$

この方程式は $x=4$ という実数解を持つ(代入すれば $64=60+4$ ✓)。ところが解の公式に当てはめると、途中で $\sqrt{-121}$ が現れる。

「実数の答えを出すために、途中で"存在しない数"を通らねばならない。」

数学者たちは困惑した。しかし計算を続けると、虚数の部分がきれいに打ち消し合い、最後には $4$ という正しい答えが出てくるのだ。

「存在しない数」を経由すると、正しい答えにたどり着く。 この不気味な経験が、複素数を受け入れる決定的なきっかけになった。

名前が示す偏見。 「虚数(imaginary)」という名は、当時の「こんなものは想像上の産物だ」という不信感の名残である。「実数(real)」と対にされ、$2$ 級市民の扱いを受けていた。

しかし今日、複素数は物理学の基礎言語だ。量子力学の波動関数は複素数値で、電気回路の交流計算も複素数なしには成り立たない。現実を記述するのに、虚数が要る。

「役に立つから正しい」のではなく、「使ってみたら世界が説明できてしまった」 — 数学と現実の、不思議な共鳴である。

別解

複素数の計算には、強力な検算法がある。 「絶対値」を使う方法だ。これを知っていると、掛け算のミスがその場で見つかる。

複素数の絶対値とは。 $z=a+bi$ に対して

$$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$

複素数を座標平面の点 $(a,b)$ と見たときの、原点からの距離である(数Cの複素数平面で詳しく学ぶ)。

そして、驚くべき性質がある。

$$\boxed{|z_1{z}_2|=|z_1|\times |z_2|}$$

「積の絶対値は、絶対値の積」。 掛け算をすると、距離も掛け算される。

(2)の検算に使う。

• $|3+2i|=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$
• $|1-4i|=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}$

積の絶対値は、この $2$ つを掛けたものでなければならない。

$$\sqrt{13}\times \sqrt{17}=\sqrt{221}$$

答え $11-10i$ の絶対値を計算してみる。

$$|11-10i|=\sqrt{121+100}=\sqrt{221}✓$$

ぴったり一致した。 もし計算を間違えて $11+10i$ や $19-10i$ などとしていたら、絶対値が合わなくなる — 一発でミスが露見する。

なぜこの性質が成り立つのか。 $z_1=a+bi$、$z_2=c+di$ として、実際に計算してみると

$$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd{)}^2+(ad+bc{)}^2$$

という恒等式に行き着く。これはブラーマグプタ・フィボナッチの恒等式と呼ばれ、「$2$ つの平方和の積は、また平方和になる」という整数論の有名な事実だ。

$$13\times 17=221=11^2+10^2$$

$13=3^2+2^2$ と $17=1^2+4^2$ の積が、$221=11^2+10^2$ になった — 複素数の掛け算が、そのまま整数の等式を生んでいる。

複素数は「計算のための便宜的な記号」ではない。 $2$ 次元の量($a$、$b$ の組)を、$1$ つの数として掛け算できるようにした発明なのだ。だから絶対値(距離)や、この後で学ぶ回転と、深く結びついている。

検算としての使い方をまとめる。 複素数の掛け算をしたら、両辺の絶対値の $2$ 乗($a^2+b^2$)を比べる。

$$(3^2+2^2)(1^2+4^2)=13\times 17=221,11^2+10^2=221✓$$

$5$ 秒で、掛け算全体の正しさが確認できる。