数学II / 複素数と方程式

複素数の相等(2乗)

★★ 標準複素数の相等

問題

$(a + bi)^{2} = 3 + 4 i$ を満たす実数 $a$ 、 $b$ を求めよ。

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左辺を展開して実部と虚部に整理し、右辺と見比べる。複素数の相等は実部・虚部それぞれの一致 — ここから実数の連立が立つ。解の組が複数出ることに注意。

解答・解説

左辺を展開して $a + bi$ の形にし、実部どうし・虚部どうしを比べる(複素数の相等)。連立方程式になる。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 未知数は $a, b$ の2つ。等式は複素数の等式が1本。足りないように見えるが、複素数の相等は「実部と虚部の2本立て」だ。

左辺を展開して $a + bi$ の形に整理する。 $(a^{2} - b^{2}) + 2 ab i = 3 + 4 i$ 。

実部どうし・虚部どうしを比べて、 $a^{2} - b^{2} = 3$ 、 $2 ab = 4$ の連立。1本の複素数の等式が、実数の連立2本に化けた。

公式複素数の相等:

a + bi = c + d i

(

a, b, c, d

実数)

⟺

a = c

かつ

b = d

① 左辺を展開して、実部・虚部に分ける。 左辺を展開する。

$(a + bi)^{2} = a^{2} + 2 abi + b^{2} i^{2} = (a^{2} - b^{2}) + 2 ab i$

② 実部と虚部を、それぞれ比べる。 これが $3 + 4 i$ に等しいので、実部どうし・虚部どうしを比べて

$a^{2} - b^{2} = 3, 2 ab = 4$

③ 1文字を消して、 $a$ だけの方程式にする。 2つ目の式から $ab = 2$ 、つまり $b = \frac{2}{a}$ 。これを1つ目の式に入れる。

$a^{2} - \frac{4}{a ^{2}} = 3$

両辺に $a^{2}$ をかけて整理すると

$a^{4} - 3 a^{2} - 4 = 0 \Rightarrow (a^{2} - 4) (a^{2} + 1) = 0$

④ 実数条件で解を絞り、 $b$ を求める。 $a$ は実数なので $a^{2} + 1 > 0$ 。よって $a^{2} = 4$ 、 $a = \pm 2$ 。

$a = 2$ のとき $b = \frac{2}{2} = 1$ 、 $a = - 2$ のとき $b = \frac{2}{- 2} = - 1$ 。

よって $(a, b) = (2, 1)$ または $(- 2, - 1)$ 。

まとめ:複素数の相等は「実部=実部、虚部=虚部」で連立にする。消去して出た方程式を解き、最後に『 $a$ は実数』の条件で不適な解を落とすところまでが1セット。

発展 — 一歩先へ。 この問題は「 $3 + 4 i$ の平方根を求めよ」と同じ内容だ。複素数の世界では、どんな数にも平方根が2つある(実数の「負は平方根なし」という制限が消える)。

数学Cの極形式を学ぶと、平方根は「大きさは、角度は半分」と図形的に求められるようになる。 $∣3 + 4 i ∣ = 5$ を使った別解は、その極形式の考え方の入り口に立っている。

答

$(a, b) = (2, 1)$ または $(- 2, - 1)$

隠れた「3本目の式」を使うと、連立が劇的に軽くなる。大きさ(絶対値)の比較だ。

2乗しても大きさの2乗は保たれるから、 $(a^{2} + b^{2})^{2} = ∣3 + 4 i ∣^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25$ 、つまり

$a^{2} + b^{2} = 5$

実部の比較 $a^{2} - b^{2} = 3$ とこの式を足し引きすれば、 $a^{2} = 4$ 、 $b^{2} = 1$ が即座に出る。

候補は $a = \pm 2$ 、 $b = \pm 1$ の4組。虚部の条件 $2 ab = 4 > 0$ から同符号のペアだけが残り、 $(2, 1)$ と $(- 2, - 1)$ 。

$2 ab = 4$ を代入で解く正攻法に比べ、2次の対称なきれいな連立になるのが利点だ。「等式からは実部・虚部だけでなく大きさも比べられる」という第3の目は、複素数平面(数C)でも役に立つ。