複素数の平方根

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 複素数の平方根も、実部と虚部の文字でおいて $2$ 乗するのが出発点だ。$z=a+bi$ と書いて $2$ 乗し、実部・虚部を見比べる。

すると連立 $a^2-b^2=-5$、$2ab=12$ が出る。

この連立を解くと候補がいくつか出てくる。$a,b$ が実数という条件で、そのうち不適なものを落とす。ここまでが一組の作業だと見通しておく。

① $z=a+bi$ とおいて2乗する。 $z=a+bi$($a$、$b$ は実数)とおく。

$$z^2=(a^2-b^2)+2abi=-5+12i$$

② 実部と虚部を、それぞれ比べる。 実部・虚部を比べて

$$a^2-b^2=-5,2ab=12$$

③ 1文字を消して、$a$ だけの方程式にする。 2つ目から $ab=6$、つまり $b=\frac{6}{a}$。1つ目に代入する。

$$a^2-\frac{36}{a^2}=-5$$

両辺に $a^2$ をかけて整理する。

$$a^4+5a^2-36=0\Rightarrow (a^2+9)(a^2-4)=0$$

④ 実数条件で解を絞る。 $a$ は実数なので $a^2+9>0$。よって $a^2=4$、$a=\pm 2$。

$a=2$ のとき $b=3$、$a=-2$ のとき $b=-3$。

$$z=2+3i\text{または}z=-2-3i$$

まとめ:複素数の平方根も $a+bi$ とおいて相等で連立にする。$a$ が実数($a^2\ge 0$)の条件で、不適な解を落とすのがポイント。

発展 — 一歩先へ。 どんな $0$ でない複素数にも、平方根はちょうど $2$ つあり、符号だけが逆の $\pm (a+bi)$ の形になる。本問の $2$ 解 $\pm (2+3i)$ がまさにそれだ。

一般に $w=p+qi$ の平方根は、絶対値の式 $a^2+b^2=|w|$ と実部の式 $a^2-b^2=p$ を連立して求まる。すると $a^2=\frac{|w|+p}{2}$、$b^2=\frac{|w|-p}{2}$ と、絶対値と実部だけで書ける。

符号の対応は虚部 $q$ が決める($2ab=q$ の正負)。この別解の絶対値ルートは、そのまま平方根の一般公式になっている。

別解

別解 — 絶対値を使って連立をきれいに解く(得意な人向けの視点)。 $z^2=-5+12i$ の両辺の絶対値をとる。左辺は $|z^2|=|z{|}^2$、右辺は $|-5+12i|=\sqrt{25+144}=13$。

だから $|z{|}^2=a^2+b^2=13$ が手に入る。

本解の実部の式 $a^2-b^2=-5$ と、この $a^2+b^2=13$ を並べる。

$$a^2+b^2=13,a^2-b^2=-5$$

辺々を足すと $2a^2=8$ で $a^2=4$、引くと $2b^2=18$ で $b^2=9$。よって $a=\pm 2$、$b=\pm 3$。

符号は虚部 $2ab=12>0$、つまり $ab=6>0$ で決まる。$a,b$ は同符号だから $(a,b)=(2,3),(-2,-3)$。

$$z=2+3i\text{または}z=-2-3i$$

$4$ 次方程式に持ち込む本解と同じ答えだが、絶対値の式を $1$ 本足すと、連立が「和と差」で一瞬で解ける。$a^2$ の複$2$次を作らずに済むのが利点だ。